例談二輪復習中的“借題發揮”

何國鋒

摘要：解題教學是高考二輪復習的主要形式，其教學效果與高考數學備考成敗直接相關。本文旨在打破就題論題的陳舊復習方式，通過充分挖掘，借題發揮，不斷變式、拓展、延伸，使得學生的數學思維和能力得到充分的發展和優化，提高二輪復習的有效性。

關鍵詞：一題多解;發散思維;借題發揮;變式教學

高三二輪復習具有時間緊，任務重，難度大等特點。解題教學是這一輪復習中的主要課型，其復習效率在這一階段就顯得尤為重要。如何讓解題教學達到高效是每一個高三老師都面臨的問題。筆者認為，在二輪復習中，解題教學如果就題論題，就很難把題目的作用發揮到極致，學生的數學能力就很難得到充分發展，而且很容易讓學生陷入題海戰術，不僅如此，這種解題教學的課堂沉悶無趣，復習效果自然就事倍功半;但我們如果能精選例題并借題發揮，提高問題的“含金量”，充分發揮問題的功能，通過問題的一題多解、變式與拓展，使得學生的數學思維在一個問題的解決到另一個問題的解決過程中得到發展和優化，生跳出題海，實現減負增效，達到高效復習的目的。

1、通過借題發揮，一題多解，培養學生的發散思維

在美國教育家G.波利亞所著的《怎樣解題》中提到：在解題過程中，時刻提醒自己“能以不同的方式推到這個結果嗎”，這其實就告訴我們，在解題教學過程，面對同一個問題，我們要能從多個角度進行分析，得到多種不同的解法，通過這種分析一方面可以激起思維的碰撞，活躍課堂;另一方面可以很好地培養學生的求異思維。

教學片段一：在一次二輪考試中有這樣一道填空題：

題目?已知為圓上一點，直線，則到的距離的最小值為。

師：這是我們這次考試的一個填空題，大部分同學都做對了，但我們是如何做出來的呢？你所用到的原理是什么？

生1：垂線段最短

師：好，充分利用了幾何法得出了最值，還有其它方法嗎？

師：你用到的原理是什么？

生2：利用了最值點處的切線與已知直線平行！

生3：利用生2的原理還有一種方法：設最值點為，則已知圓在點處的切線為，其斜率為，由生2的原理有：，又因為點在圓上，所以，，聯立得出，進而求出最小值。

師：同學2充分利用了代數得出了最值，這其中還用到了圓上一點的切線方程，非常好，那還有其它方法呢？

生4：設，則到直線的距離，所以，當時，

師：非常好，生4運用了圓的參數方程，將問題轉為一個三

角函數的最值問題，利用函數的思想巧妙地解決了該問題。請大家嘗試解決一下這樣一道題：

已知為橢圓上一動點，直線，則到的距離的最小值為。

通過這種借題發揮，交流互動，一題多解，可以更加全面了解學生對數學的基本原理掌握的情況，在培養發散思維的同時，促進同學之間思維的碰撞，共同學習共同提高。

2、通過借題發揮，不斷變式，深化學生對問題或方法本質的認識

借題發揮可以對原題的結構進行變式，即變換題目的條件或結論，或者變換題目的形式，而題目或方法的本質沒有改變。通過這種借題發揮的教學，能使學生隨時根據變化了情況積極思考，設法想出解決辦法，深化學生對問題本質的認識，培養學生的求同思維。

教學片段二：

變式?已知為上一動點，直線，求到的距離的最小值。

師：此題我只是將曲線換成了一個函數的圖像，能用之前的方法解決嗎？

生5：幾何法和參數方程肯定不行，判別式法也不行?？梢岳米钪迭c處的切線與已知直線平行，設，則在處切線的斜率為，則有：，從而，所以，

師：很好，生5利用了幾何法快速地得到了答案;有其它方法嗎？能轉化為函數的最值問題嗎？

生6：好像可以，到的距離

師：如何求出最值呢

師：很好，剛才三位同學分別利用幾何法和函數最值的方法，這兩種方法可推廣嗎？請大家嘗試解決一下一道題：

已知為上一動點，直線，求到的距離的最小值。

3、通過借題發揮，拓展與延伸，深化學生的思維靈活性

在二輪復習中，通過借題發揮，將問題進行更深入的研究，既可以培養學生的創新思維，又可以活躍課堂的氣氛，避免沉悶、無生氣的課堂。通過延伸可以很好地鍛煉學生的思維靈活度，提高學生綜合分析問題和解決問題的能力，從而提升二輪復習效率。

教學片段三：

延伸一?設直線與曲線和直線分別交于兩點，求的最小值。

師：大家可以先畫出圖像看看能否找到突破口

師：生1通過觀察圖像，轉化為函數最值問題，后利用導數進行了解決。還有其它的方法嗎？大家可以聯系前面所學的幾何方法，它們之間有沒有什么聯系呢？

事實上，如圖2我們過點作，設，你能找到與之間的關系嗎？

生2：

師：有沒有哪位同學進行一步補充？

接下來只需用前面的方法就可以解決。

師：剛才，幾位同學通過作一條垂線，很巧妙的把該問題轉化為前面剛學過的問題了，非常棒！接下來我們再考一考大家：

延伸二?設直線與曲線和直線分別交于兩點，求的最小值。

生5：仿照上一題的思路，如圖3作出，設，則，進而轉化為前面的問題。

師：同學們觸類旁通的能力很強啊，那大家能用代數的方法解決這個問題嗎？

生1：由圖4，設，則，接下來不知道怎么辦了。

師：有沒有同學可以幫幫他呢？問題的障礙在哪里？

生2：出現了兩個變量，求不出來！

設直線與曲線和直線分別交于兩點，求的最小值。

4、結束語

利用這種借題發揮的方式組織高三二輪復習有助于學生更好更系統的理解所學過的知識的本質，促使知識正遷移;有助于學生形成良好的知識網絡，能進一步優化數學認知結構;可以促進學生靈活的、創造性地進行學習;有助于師生真正從題海中解放出來，達到減負增效的效果。

參考文獻：

[1]張文娣.中學數學變式教學與能力培養[M].山東教育：2001（5）：13-16

[2]王生.如何提高二輪復習的有效性[J].2017（10）：49-50