三角函數在高中數學中的解題應用

摘 要：在高中數學的知識體系中，三角函數扮演著重要的角色，幾乎貫穿了我們整個高中階段的數學學習，而且在各類題型中都有應用之處。但三角函數部分的知識點比較瑣碎，需要記憶的公式也較多，這就給我們的學習造成了不小的障礙。本文就三角函數在高中數學中的解題應用進行了初步的探討，希望對同學們有所幫助。

關鍵詞：三角函數;高中數學;解題方法

有許多同學對三角函數“談之色變”，因為這部分知識點多，公式多，題型多，而且沒用什么可以循規蹈矩的方法，所以學起來很吃力。要弄懂三角函數，還是要從其基本概念入手，理清知識脈絡，做好分類，探索出自己的解題套路，而那些紛繁復雜的公式只是我們解題的工具而已，這樣一來相信三角函數也將不再是高中數學學習中的難點了。

一、三角函數的知識脈絡

學習三角函數，我們首先需要對角有一個新的認識，高中階段我們所接觸的角已經不再是0～360°的范圍了，而應為任意角，即（）范圍內的所有角，同時引入弧度制的概念，這就要求我們要有一個周期角的思想。在學習角度概念的時候，我們要借助兩個好幫手，即象限角與單位圓，三角函數的定義也由此而來。三角函數也是基本初等函數，是以角度（弧度）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。高中數學里我們需要掌握的三角函數為正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），其各自的定義分別對應于單位圓上相應線段的比值，而函數名之前的符號則遵從“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”的規律。在此基礎上，還要熟練掌握同角三角函數的基本關系式，即商數關系和平方關系，同時要將誘導公式的規則熟稔于心，牢記口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中奇、偶指的是的奇數倍或偶數倍，變與不變是指函數名稱的變化。

在掌握了三角函數的基本概念之后，我們就要開始“變換”了。三角函數之所以成為高中學習的重點，同時成為很多同學學習的難點，很關鍵的一點就是在于其變換形式的多樣性，且各類三角函數之間都可進行變換，這就需要我們先理清它們的關系，并做好分類，建立連接三角函數與解題應用之間的橋梁，如圖1所示。

二、三角函數的性質與函數圖象

三角函數雖然在形式上存在一定的特殊性，但究其本質還是一種函數，所以我們完全可以用學習函數的思想來學習三角函數。既然是函數，那么它就必然有單調性、奇偶性、周期性等函數性質，當然也可以做出函數的圖像。

三角函數既然也是一類函數，那么對其性質的研究也應按照普通初等函數的學習方法來進行，除了掌握三類基本的三角函數的性之外，還需掌握，及的相關性質。

對于三角函數的圖象，最基本的應掌握三類三角函數的原始圖象并能用“五點法”作圖，其次是掌握三角函數的平移變換的方法，建立數形結合的思想，學會運用函數圖象結合單位圓解題。

三、三角函數的解題應用

有了以上的知識體系，我們就需要融會貫通的將這些知識點運用到解題中去。這里我總結了三類題型的解題策略供讀者參考。

1.三角函數式的化簡與求值

在面對三角函數式的化簡與求值問題時，我們需要運用同角三角函數的關系式，即和，同時合理使用誘導公式。

化簡與求值的題目，題干往往比較長，有的同學看到密密麻麻的三角函數名就無從下手，這時候就需要一定的化簡策略，當我們看到題目中同時存在“弦”和“切”時，就應考慮兩個方向，要么化弦，要么化切，因為只有當函數名為同類時，才方便我們進行使用積化和差、和差化積、倍角公式等手段進行進一步的化簡與求解。

2.三角函數的性質

正如之前所述，三角函數是一類初等函數，在作為考題考察其性質的時候，題目的類型與普通初等函數的類型相類似，不同點則在于對三角函數周期性和奇偶性的考察，而在我看來，所有死記硬背式的記憶方式都不如畫一個圖像來的直接、有效，通過數形結合我們可以很直觀的得到三角函數的諸多函數性質，不論是定性的討論函數的周期性、奇偶性，還是定量的求得函數的單調區間，我們需要掌握的其實只有最基本的正弦、余弦和正切的圖像，然后拿題目所給的變形后的圖像與之作對比，即可得到我們想要的結果。

3.三角函數的圖象

我們可以通過待定系數法解決由三角函數圖象求三角函數解析式的問題，通過數形結合的方法，圖象中的最大值或最小值對應A，圖象的周期對應，再由圖象中的具體點來確定的值，但要注意，的值并不唯一，要通過限制其取值范圍來確定的確切值。

四、總結

高中數學中三角函數部分歷來都是考試的重點，其知識點多，題型豐富，給同學們在學習的過程中造成了一定的困難。但只要掌握了三角函數的知識脈絡，合理運用公式與圖形圖象，總結出每一類題型的解題方法，相信三角函數將不再是高中數學學習中的難點。

參考文獻

[1]魏大錚.淺析高中數學三角函數解析技巧[J].科技風，2017（03）：241.

[2]朱作煒.關于高中數學三角模塊的教學研究[D].湖南師范大學，2016，57（3）：45-46.

作者簡介：李想（2000.08——），性別：男，民族：漢族，籍貫：陜西省榆林市府谷縣府谷鎮，西安市西鐵國際中學高2019屆M2-3班學生。