基于改進的稀疏度自適應振動數據修復方法

2019-08-31 01:19:06王華慶宋瀏陽李景樂郝彥嵩

振動與沖擊 2019年16期

謝馨，王華慶，宋瀏陽，李景樂，郝彥嵩

(北京化工大學機電工程學院，北京 100029)

旋轉機械作為現代工業中重要的生產設備，一旦發生故障，將造成巨大損失。因此對旋轉機械進行狀態監測，從而及時發現并解決故障有重要意義[1-3]。復雜的監測環境對數據采集系統會產生一定影響。在實際振動信號采集中，可能會由于信號傳輸故障或設備間的電磁干擾導致部分數據的丟失。但采集過程不可逆，因此有必要對不完整數據進行修復，為后續信號處理奠定基礎。

近年來在稀疏表示基礎上發展的壓縮感知理論為信號處理技術提供了新思路。壓縮感知理論中，首先對信號進行稀疏變換，再利用與變換矩陣不相關的觀測矩陣實現信號的壓縮，最后通過求解欠定方程得到重構信號。它的優勢在于能夠通過較少的采樣值保留原信號本質特征，在欠采樣條件下高概率地重構信號。

基于上述原理，如果將信號采集過程得到的有損信號作為觀測值，那么用有損信號恢復完整信號的過程就可以看作是壓縮感知的重構過程。因此，對于缺失數據修復問題，已有文獻利用相關理論開展了工作[4-6]。在壓縮感知理論中，選擇恰當的重構方法對精確穩定地恢復出高維信號極其重要。其中貪婪算法是最常用的稀疏求解算法[7-10]，包括正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)、正則化正交匹配追蹤(Regulariged Orthogonal Matching Pursuit,ROMP)、壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP)等。但以上算法均需對信號稀疏度進行預估，增加了數據重構的難度。為了解決上述問題，稀疏度自適應匹配追蹤算法(Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP)被提出[11-12]。

SAMP算法每一階段內，當搜索的支撐集原子更匹配原信號時，殘余范數減小，同時更新支撐集及余量；當殘余范數增大時，進入下一階段，同時增加支撐集大小，直到滿足迭代終止條件，循環終止。因此，便增大了對終止條件的依賴。若終止系數選取過大，則重構誤差較大；若選取過小，則會持續增加支撐集的大小。這樣不僅增加了迭代時間，而且當支撐集大小遠大于真實支撐集時，還會引入大量錯誤原子，反而降低了重構精度。為此，本文提出了基于終止準則改進的SAMP算法，對SAMP算法的終止條件進行優化補充，使其不僅僅依賴于終止系數的選取。從而在數據修復的過程中，縮短了運行時間，同時可以自適應完成信號重構，避免了人為因素。

1 基于壓縮感知的振動數據修復

壓縮感知理論中，當信號在某個變換基下具有稀疏性，可以用一個與變換基不相關的觀測矩陣將高維信號投影到低維空間上，再通過稀疏求解策略將低維數據重構出原始高維信號[13-15]。在數據采集過程中，由于信號傳輸或傳感器接觸不良而導致部分時間內振動數據丟失。由于這些數據的丟失是隨機的，正如壓縮感知理論中高維信號通過隨機的觀測矩陣投影在低維空間里。因此基于采集到的不完整數據，應用壓縮感知重構方法，可以高概率地重構出完整信號，進而實現數據修復。

設x∈RN×1為原始完整信號，y∈RM×1為受損信號，那么二者關系可以表示為

y=Φx

(1)

式中：Φ∈RM×N(M

設原始信號能在某種正交基下展開

x=Ψα

(2)

式中：Ψ={Ψ1,Ψ2,…，ΨN}∈RN×N為正交基字典矩陣；α={α1,α2,…，αN}為展開系數向量。將式(2)代入式(1)為

y=ΦΨα=Aα

(3)

式中：A=ΦΨ為感知矩陣。因此，從壓縮信號中恢復原始信號是一個求解線性方程組的問題。但是由于壓縮信號長度遠小于原始信號，該方程有無數多個解。但是如果原信號足夠稀疏，就可以降低方程組中未知數的個數，實現欠定方程的求解。

目前，稀疏求解策略很多，其中貪婪算法由于其結構簡單，運算量小以及重構精度較高而被廣泛使用[16-17]。但是大多數貪婪算法都需要預估信號的稀疏度，稀疏度選取的不當將會直接影響重構的效果。但是在實際工程應用中，難以確定信號真實稀疏度，導致重構結果不理想。針對上述問題，SAMP算法提供了新思路。SAMP算法通過階段步長逐步實現支撐集的篩選，因此在稀疏度未知的前提下也可實現信號的準確重構。

2 基于改進的稀疏度自適應振動數據修復

2.1 SAMP算法

SAMP算法中，每一階段內，如果殘余范數大于上次迭代殘余范數，則增大支撐集的大小；否則繼續搜索更優支撐集，直到滿足停止迭代條件時，退出循環，此時便得到與目標信號最匹配的原子。具體步驟如下：

步驟1已知感知矩陣A、觀測向量y，設置迭代終止條件，迭代步長l；

步驟2初始殘差r0=y，初始支撐集I0=[ ]，初始階段s=1，初始迭代次數k=1，初始支撐集長度h=l；

步驟3求取感知矩陣A各原子Ai與余量rk-1內積〈Ai·rk-1〉，由高到低，選取h個內積最大對應的原子進入預選集Ck；

步驟4合并預選集Ck與原支撐集Ik-1得到候選集Jk，再計算候選集Jk中各原子與殘差內積，選取內積最大對應的h列原子進入支撐集Ik；

步驟5更新支撐集Ik，更新殘差rk。至此，一次迭代完成。若‖rk‖≤σ×‖y‖，則終止迭代，利用支撐集中原子重構信號；否則進入步驟6；

步驟6若‖rk‖<‖rk-1‖，更新迭代次數k=k+1，轉步驟3；否則，更新迭代階段s=s+1，更新支撐集長度h=s×l，轉步驟3。

其中，Ck，Jk，Ik分別為第k次迭代的預選集，候選集，支撐集。

2.2 基于終止準則改進的SAMP算法

在SAMP算法中，終止系數σ的選取通常是固定的。為了重構結果更精確，終止系數σ設為0.1，或者更小。但由于字典矩陣與信號存在一定的差異，即使將支撐集長度擴展到接近觀測值時，也難以滿足‖rk‖≤σ×‖y‖條件，反而還會引入大量錯誤原子，降低了重構精度。

針對SAMP算法重構結果極大依賴于終止條件的問題，對其迭代終止條件進行了優化改進。首先利用SAMP算法對支撐集大小得到粗估計Im，使其逼近于真實支撐集的大小。后續繼續搜索原子時，若新進入的原子更能準確表示原信號時，則殘余范數減小‖rm+1‖<‖rm‖；若‖rm+1‖=‖rm‖，則對于當前支撐集的大小，已經搜索到了最優原子，因此需要進一步增大支撐集的大小；若‖rm+1‖>‖rm‖，說明已經引入了錯誤的原子，則循環終止。具體步驟如下：

步驟1已知感知矩陣A，觀測向量y，迭代步長l，殘差rm，支撐集Im，階段sm，迭代次數m，支撐集長度hm；

步驟2計算感知矩陣A各原子Ai與余量rm內積〈Ai·rm〉，由高到低，選取hm個內積最大對應的原子進入預選集Ck；

步驟3合并預選集Ck與原支撐集Im得到候選集Jk，再計算候選集Jk中各原子與殘差內積，選取內積最大對應的hm列原子進入支撐集Im+1；

步驟4更新支撐集Im+1，更新殘差rm+1。若‖rm+1‖≤σ×‖y‖，則退出循環，利用支撐集Im中原子重構信號；否則進入步驟5；

步驟5若‖rm+1‖<‖rm‖，更新迭代次數m=m+1，轉步驟2；若‖rm+1‖=‖rm‖，更新迭代階段s=sm+1更新支撐集長度h=s×l，轉步驟2；否則，退出循環，利用支撐集Im中原子重構信號。

改進后的SAMP算法不僅保證了信號的重構精度，也考慮到了在搜索支撐集的不同階段，單一的終止條件難以有效地實現信號自適應重構；同時縮短了傳統SAMP算法由于終止系數選取不當的迭代時間。

2.3 數據修復模型建立

針對信號采集中受損數據的修復問題，基于壓縮感知框架，提出了改進的稀疏度自適應數據修復方法。首先根據受損數據的振動特征結合先驗知識確定稀疏矩陣；然后構造數據缺失模型約束下的觀測矩陣；最后在重構階段提出來一種改進的稀疏度自適應匹配追蹤算法實現受損數據修復。算法流程如圖1所示。

具體算法流程主要包含下述幾個步驟：

步驟1采集轉子實驗臺的軸承振動信號，以單位矩陣為基礎，構造數據缺失模型下的觀測矩陣，選取能夠將信號稀疏化的字典矩陣作為稀疏矩陣；

步驟2在數據修復初始階段，采用SAMP算法對支撐集進行初步估計，直到迭代次數增加，重構精度相對穩定，再利用改進的SAMP算法進行受損數據自適應精確修復；

步驟3對比受損信號與修復后信號的頻譜，驗證數據修復方法的有效性，分別采用OMP，ROMP方法修復信號，從修復精度和時間上與本文方法進行對比。

圖1 受損數據修復流程圖Fig.1 The process of mission data recovery method

3 仿真信號驗證

為了驗證方法有效性，構造了密集多模態信號x(t)如式(4)所示，其由三階密集模態信號和隨機噪聲干擾xn(t)復合構成

式中：三階模態信號幅值Ai分別為1，2，4；各階模態信號對應頻率fi分別為100 Hz，106 Hz，120 Hz；各階模態阻尼系數ζi分別為0.010，0.006，0.006；采樣頻率為2 000 Hz；xn(t)為信噪比為5 dB的隨機噪聲。為了保證信號幅值處于同一數量級，下列信號均經過歸一化處理。

完整的仿真信號及其頻譜如圖2所示，設在數據采集過程中由于某些外界原因造成部分數據丟失，采集到的受損信號如圖3(a)所示。對受損信號進行頻譜分析，如圖3(b)所示，從圖3(b)可知，頻譜中出現了部分干擾成分，有效頻率無法準確提取。因此，采用基于終止準則改進的稀疏度自適應數據修復方法恢復信號。利用改進的SAMP算法，通過受損信號、感知矩陣重構完整信號，實現數據修復。修復結果如圖4(a)所示。對修復后的信號進行頻譜分析，分析結果如圖4(b)所示。頻譜中可以有效提取各階模態信號對應頻率。

圖2 完整仿真信號Fig.2 Complete simulation signal

圖3 受損仿真信號Fig.3 Damaged simulation signal

圖4 改進SAMP算法修復的仿真信號Fig.4 Recovery simulation signal with modified SAMP algorithm

分析了傳統SAMP算法及改進的SAMP算法中，不同迭代終止系數對修復性能的影響，結果如圖5所示。對于傳統SAMP算法，隨著迭代終止系數σ的減小，修復誤差呈現先減后增的趨勢。由于傳統SAMP算法本身不收斂，因此難以得到全局最優解。基于終止準則改進的SAMP算法迭代終止條件不局限于單一的終止系數，還考慮了支撐集中是否引入虛假原子，并通過此次迭代余量與上一次迭代余量的相對大小進行約束。因此隨著迭代終止系數的減小，改進后的SAMP算法修復誤差保持穩定，即使終止系數選取過小，該算法也能自適應的精確修復，避免了終止系數選取不當對修復精度的影響。對仿真信號加入不同強度的噪聲，探討了噪聲強度對支撐集原子的影響，結果如圖6所示。隨著信噪比減小，噪聲能量逐漸高于信號能量，加噪信號包含更多不確定成分，導致數據修復搜索到的支撐集原子數也隨之增加。

將本文方法與SAMP,OMP，ROMP算法進行了對比，重構結果如圖7所示。本文分別從重構精度和運算時間兩方面分析了改進后的SAMP與傳統SAMP算法性能。從表1可知，對于修復同等長度的信號，改進的SAMP算法重構誤差及運算時間均優于傳統SAMP算法，這是由于改進的SAMP算法可以自適應的精確接近真實支撐集，避免σ選取不當的問題，提高重構精度和運算效率。OMP及ROMP算法修復誤差如表2所示。從表2可知，改進后的SAMP算法在修復精度上高于上述兩種方法，且省去了多次重復實驗預估稀疏度的過程，減少了人為因素。

表2 不同重構算法修復誤差

圖5 迭代終止系數對修復性能影響Fig.5 Recovery error of different termination coefficient

圖6 噪聲對支撐集長度影響Fig.6 The length of support set under different noise intensity

圖7 不同重構算法修復的仿真信號Fig.7 Recovery simulation signal with different algorithms

4 實驗驗證

4.1 實驗條件

為驗證方法有效性，在圖8轉子實驗臺上，開展了軸承振動信號采集。實驗中存在軸承內圈故障及轉子不對中故障，在軸承座豎直方向安裝壓電式加速度傳感器，采集振動信號。主軸轉速1 300 r/min，采樣頻率100 kHz，計算得該軸承內圈故障特征頻率145.45 Hz。

圖8 轉子實驗臺Fig.8 Rotor experimental rig

4.2 實驗結果

圖9為1 300 r/min內圈故障軸承振動信號經過歸一化處理后的時域圖及包絡頻譜圖，從頻譜中可以有效提取出軸承內圈故障頻率及轉頻的二倍頻，驗證了軸承內圈故障及轉子不對中故障。圖10(a)為丟失部分數據后的有損信號。對有損信號進行包絡解調及頻譜分析，如圖10(b)所示。難以有效提取軸承故障特征頻率及轉頻的二倍頻。如果不對有損數據進行修復，直接對其進行分析，將導致故障狀態無法識別。

采用改進的SAMP算法修復有損信號，修復結果如圖11(a)所示。同樣對修復后信號進行包絡譜分析，可以有效提取出軸承內圈故障頻率及轉頻的二倍頻，及初步判定軸承內圈故障及轉子不對中故障，如圖11(b)所示。分別采用傳統SAMP，OMP，ROMP算法修復受損信號，三種方法重構結果如圖12所示。本文從重構精度和運算時間兩方面分析傳統SAMP及本文改進后SAMP重構算法性能，結果如表3所示。從表3中可以看出，改進的SAMP算法重構誤差及運算效率較傳統算法均有所提升，更適于振動信號修復。OMP及ROMP方法修復精度如表4所示。可得出與仿真信號同樣結論。