人行荷載下大跨度樓蓋MTMD參數與位置聯合優化方法研究

唐斯聰， 王海龍,， 張曉冉， 胡子陽， 曹文靜

(1. 石家莊鐵道大學 交通運輸學院，石家莊 050000; 2. 河北建筑工程學院 土木工程學院，河北 張家口 075000)

調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)作為一種減振裝置，通過調諧自身頻率實現對主體結構的吸振減振。為了高效發揮TMD在工程實際中的作用，眾多學者將新構造[1-2]、新理論[3-4]、新策略[5]緊密地與TMD系統結合，設計出了功能更強大、使用更方便的振動控制系統。多重調諧質量阻尼器(Multiple TMD,MTMD)是由多個單調諧質量阻尼器(Single TMD,STMD)構成的減振系統，在振動控制中較STMD擁有更佳的減振性能和控制魯棒性，其因良好的經濟性、優異的減振性能和易于安裝維護的特點在工程結構減振中得到了廣泛應用。由于MTMD較STMD復雜，在減振控制中要求多個TMD協同工作，MTMD的參數取值和位置選取成為決定減振效果的關鍵因素。

在參數取值方面，MTMD不像STMD一樣能夠利用解析方法尋找參數最優解，早期對MTMD的研究都是在特定參數下進行的[6]，通過指定TMD的頻率、阻尼比和質量比，研究體系在應對地震荷載、風荷載等情況下的減振性能，初步得出了一些較為合理的MTMD參數組合[7-8]。隨著最優算法與MTMD參數尋值結合，MTMD的參數不再停留在特定組合上，通過合理的優化能夠得到特定情況下的最優解，徐慶陽等[9]根據大跨懸掛結構的動力特性將TMD分組設計，針對不同的模態優化不同組TMD參數，李泉等[10]針對大跨度樓蓋結構的多模態振動問題，提出了MTMD對樓蓋多個振動模態進行控制的設計方法，并比較了多模態優化方法和單模態優化方法設計的MTMD減振控制效率，徐若天等[11]提出一種步行荷載下大跨樓蓋MTMD參數優化的混合算法，利用有限元獲得樓蓋模態后再由振型分解法計算步行荷載引起的結構響應，結合遺傳算法對MTMD進行參數優化。

在位置選取方面，TMD不同安放位置對體系減振效果的影響及其在減振控制中的實現途徑尚不明確，MTMD的位置設計尚無較為完善的方法，在安裝MTMD的時候都按照STMD單模態控制的經驗，將TMD布置于受控模態振型幅值的最大處，這種方法沒有經過嚴密的推導，為此有一些學者通過自行編寫的優化程序調用有限元軟件，通過生死單元來模擬不同的位置組合，當結構復雜或TMD數量較多時，其計算量將是十分巨大的。

為了對MTMD的位置進行優化，克服有限元時程方法計算成本過高的問題，本文結合有限元法和振型分解法，提出了一種MTMD位置優化方法，并以此為基礎制定了MTMD位置和參數聯合優化策略。

1 樓蓋MTMD系統耦合運動方程

大跨度樓蓋結構在使用過程中由于人行荷載的豎向激勵可能產生較大的振動，會引起人體不適并影響建筑使用要求，需要對樓蓋采取豎向振動控制措施，現利用MTMD對樓蓋結構進行振動控制。被簡化為n個質點的大跨度樓蓋結構在人行激勵下發生振動，在結構上布置m個TMD系統以控制振動響應，人行荷載設定為全體人員均勻分布在激勵位置做同頻率、同相位原地運動。整個體系的動力方程為

(1)

式中：M,C,K和Md,Cd,Kd分別為結構和MTMD的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；X為大跨結構各質點相對于地面的位移；Xd為各個TMD相對于地面的位移；E為n行m列的MTMD位置矩陣，E的每一列都對應一個TMD的安放位置，如：E矩陣第a列的元素為[0,0,…,1,…,0](1在矩陣第k行)，表示第a個TMD安放在結構第k個節點處。

MTMD相對大跨度樓蓋的質量比很小(通常在5%以下)，可以認為對樓蓋振型的影響很小。利用振型分解法將式(1)展開，并做方程間的代換，可推得：

(2)

(3)

式中：mn，cn，kn分別為第n階的模態質量、模態阻尼和模態剛度；mm，cm，km分別為第m個TMD的質量、阻尼和剛度；qn為第n階模態的廣義坐標；xm為第m個TMD相對于地面的位移；φnm為第n階模態在第m個質點處的振型幅值。

從式(2)右端可知，任何一階模態響應都由全部TMD控制，它們或多或少的以慣性力的方式作用在各階模態上，通過與振型幅值相乘表現出不同的參與程度。從單個模態來看，影響每個慣性力大小的因素是不同位置的振型幅值，從單個TMD來看，決定其在不同模態參與程度的因素是不同模態的振型幅值。

對式(2)、式(3)整體進行傅里葉變換，可得

X=E-1F

(4)

其中，

式中：F(iω)為步行荷載在頻域的表現形式；ψn為與人員分布相關的n階振型相關的系數，為人員活動區域覆蓋的振型網點的豎向振型幅值之和；γ為與人員密度相關的系數。

依據大量單步落足曲線試驗結果，腳步力荷載可用式(5)[13]的傅里葉級數表達，將其轉換到頻域可以表達為圖1。

(5)

式中：G為行人平均重力；f0為行人步頻；αi和σi分別為第i階簡諧振動荷載系數和初相位，α1=0.4+0.25(f0-2)，α2=α3=0.1；n為傅里葉級數階數，一般取n=3。

圖1 人行荷載在頻域內的分布Fig.1 Distribution of human-induced loads in frequency domain

在計算ψn值時，首先對大跨度樓蓋結構進行模態分析，選取需要疊加的模態數量，并提取各階模態在樓蓋網點處的豎向振型幅值，然后根據不同工況荷載的激勵區域計算區域處的網點振型幅值之和，可得到n階模態的ψn值。如：通過某樓蓋模態分析的結果得知此樓蓋結構在計算動力響應時需要考慮前五階模態振動，工況A的人員活動位置位于樓蓋的跨中區域，將跨中區域等間布置m個網點，提取前五階模態在m個網點處的豎向振型幅值分別相加，得出工況A的ψ1～ψ5。

在得出上述參數后，利用結構動力學的相關知識得出本文計算結構響應的核心公式

(6)

2 大跨度樓蓋結構MTMD優化方法與優化設計

2.1 結構布置及有限元分析

某體育館二層樓蓋結構為張弦梁-混凝土板組合樓蓋結構。張弦梁跨度40 m，自西向東排列共13榀，每榀之間有次梁連接，張弦梁兩端支承在混凝土柱的變截面位置，通過在鋼梁支座區域設置長圓孔實現滑動端的自由滑動，在樓板拆模后焊死，鋼梁截面規格為H900×450×25×50，撐桿采用空心圓鋼管截面，桿件規格為?159×6，拉索采用高礬索，規格為1×397，鋼梁與樓板之間利用混凝土樓板厚150 mm。盡管結構強度滿足規范要求，但結構振動的峰值加速度超過人體舒適度耐受極限，容易引起人們的不適，造成恐慌心理，需對其進行減振設計。

圖2 樓蓋平面圖、弦支梁構造圖Fig.2 Plan of floor structure and detail of beam string structure

模擬施工過程，利用實體單元模擬樓板和鋼梁，采用綁定約束模擬栓釘實現兩者的協同變形，利用桿單元模擬撐桿和拉索，對整體樓蓋結構建立三維有限元模型。

圖3 弦支梁骨架模型Fig.3 The finite element model of beam string structure

圖4 弦支梁-混凝土組合樓板模型Fig.4 The finite element model of cable supported beam structure-concrete slab composite floor

對樓蓋結構進行模態分析得到各階模態頻率、質量參與系數，因大跨度樓蓋結構在人行荷載激勵下會發生以豎向為主的振動，整理樓蓋結構的豎向振型，分析發現結構的一階、三階模態的振型質量參與系數之和達到97.9%，占豎向振型的絕大部分，故選取一階、三階模態為受控模態參與MTMD優化。圖5為此樓蓋結構一階、三階模態。

圖5 組合樓蓋模態形狀和模態頻率Fig.5 Natural frequencies and mode shapes of floor

2.2 MTMD位置優化方法

為了對MTMD的安放位置進行優化，需要對樓蓋平面布置網點，由式(2)可知TMD提供的控制力與振型幅值成正比，故稀疏或忽略各階模態振型幅值近零的網點，依據荷載和結構的對稱性，忽略一些局部布置的差異，最終在樓蓋約1/8部分選取512個點，如圖6、圖7所示。對其從1～512進行編號，在確定最優位置之前，這些點都為TMD可能的布置點，由此帶來的位置組合多達上億種，隨著TMD數量的增加，組合的數量還會呈指數增長，經過比較選用遺傳算法對MTMD進行優化。

遺傳算法是一種借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制開發的隨機搜索算法，它通過對決策變量進行編碼，在編碼的基礎上對其進行選擇、交叉、變異，在搜索過程中自動獲取和累積相關搜索知識，并自適應地控制搜索過程以求得最優解。此算例中決策變量為網點的編號，映射到公式中與其對應的是網點所處位置的振型幅值，模型的一階、三階模態為受控模態參與MTMD優化，提取一階、三階模態在512個樓蓋網點處的豎向振型幅值，組成振型矩陣，在優化過程中通過網點編號調用不同模態的振型幅值，雖然在優化過程中控制的變量是網點編號，但實際參與決策的是振型幅值，圖8為種群中的單個個體參與優化的決策途徑。

圖6 網點布置位置Fig.6 Location of lattice point

圖7 網點位置編號Fig.7 Lattice point location number list

圖8 單個個體的決策途徑Fig.8 The approach of genetic algorithm individual expression

采用樓蓋加速度為人體振動舒適度的衡量標準，定義樓蓋結構舒適度控制的目標函數R，見式(7)，它是樓蓋結構所有節點(式(7)中的k)在全部時間歷程中(式(7)中的f)的最大加速度，同時為了保障體系的魯棒性，降低樓蓋結構面對參數攝動的風險，還應保證R值在所有可能的人類活動頻段內(設定式(7)中f的取值范圍為1.8～2.6 Hz)的數值最小。

(7)

運用遺傳算法以式(7)為目標函數，選取樓蓋一階和三階模態作為樓蓋響應的疊加模態，結合式(6)計算結構響應，經過優化算法運算可得MTMD在給定參數下的最優安裝位置。

2.3 MTMD位置與參數聯合優化策略

為了實現MTMD位置和參數的聯合優化，并保證優化過程的效率和穩定性，對遺傳算法作以下補充，編寫兩個相互獨立的優化進程，分別是“MTMD的位置優化進程”和“MTMD的參數優化進程”，每個優化進程單獨對MTMD的位置或參數進行優化，都以R作為目標函數。在運算過程中兩個進程交替運行，每個進程的輸出結果都為下一個進程的初始條件，在聯合優化過程中始終都是“已知位置求參數”與“已知參數求位置”的交替循環，避免了同時優化的不穩定性，提高了運算的效率，只需保證單個進程的精準性，就能保證整個運算策略的可靠性。圖9為MTMD位置和參數聯合優化策略。

在對MTMD進行聯合優化時，輸入一個初始的位置編號，將其代入“MTMD的參數優化進程”中，運算就的循環進行，通過設定循環次數，輸出循環過程中的最優組合。

圖9 MTMD位置與參數聯合優化策略Fig.9 Combined optimal strategy of MTMD location and parameters

2.4 大跨度樓蓋結構MTMD優化設計

利用聯合優化策略對此張弦梁-混凝土板組合樓蓋結構的減振系統進行優化。在“參數優化進程”中，TMD阻尼比取值范圍設定為0.02～0.5，TMD頻率的取值范圍為1.58～4.73 Hz，由此構成參數優化的決策變量域；在“位置優化進程”中，TMD位置范圍設定為圖7所示的512個網點，由此構成位置優化決策變量域。人行荷載施加于樓蓋跨中區域，等距間隔做同頻率、同相位運動?？紤]TMD組數對減振效果的影響，當組數過少時減振穩定性不能得到保障，當組數過多時MTMD制作不便，將組數設定為安裝于不同位置的3組、4組、5組、6組的MTMD。

MTMD總質量的選取是優化過程需要考慮的因素，圖10比較了不同質量比下的樓蓋最大加速度。通過比較發現曲線拐點位于質量比為2%和3%處，不論質量比為2%和3%，都滿足人體舒適度限制要求，從經濟性角度來看，最終采用的MTMD總質量為18 000 kg(質量比2%)。

圖10 不同MTMD質量比下樓蓋最大加速度曲線Fig.10 Maximum acceleration curve of floor under different mass ratio

為與傳統優化方法作比較，在進行聯合優化前將初始位置編號設置成最大振型幅值處的位置編號，經聯合優化得到了質量比為2%下各組參數和位置的最優組合(見表1)，因篇幅原因，僅繪制出各組在循環過程中產生最小R值的一次遺傳優化過程(見圖11)。

表1 各組TMD最優參數與最優位置Tab.1 Optimal parameters and locations for different number of TMDs

圖11 不同組TMD遺傳優化曲線Fig.11 Optimization curves for different number of TMDs

圖12為曲線的起點是將MTMD布置于結構最大振型處(以下簡稱默認位置)只經過參數優化的樓蓋最大加速度，從圖12可知，隨著循環次數的增加，樓蓋最大加速度有不斷下降的趨勢，明顯小于經傳統優化后的最大加速度，可見經過聯合優化后的MTMD減振效果得到了提升。由于TMD分組越多，安放位置越離散，MTMD組數越多減振效果未必更好。通過比較減振效果，采用圖13布置位置的4組TMD，具體參數見表2。

圖12 不同組TMD聯合優化曲線Fig.12 Combined optimal curves for different number of TMDs

圖13 MTMD布置示意圖Fig.13 Layout of MTMD used in the floor structure

組別TMD1TMD2TMD3TMD4剛度/(N·m-1)202 635241 944257 101291 977阻尼比0.0780.0600.0600.027質量/kg1 1251 1251 1251 125數量4444

定義減振率=(減振前響應-減振后響應)/減振后響應，定義提升率=(默認位置優化后響應-聯合優化后響應)/默認位置優化后響應。通過表3可知，在結構最大振型幅值處安裝MTMD有很好的減振效果，能夠很大程度的緩解結構振動，減少約70%～80%的結構響應，通過位置與參數的聯合優化，減振效果能夠在此基礎上進一步提升25%～40%。

由此可見，經聯合優化后同等重量的MTMD能進一步發揮它的減振性能，較傳統的優化方法優化后的MTMD減振能力得到了極大的提升。

表3 不同優化方式下樓蓋最大加速度Tab.3 Maximum floor acceleration under different optimization methods

3 結 論

本文提出了一種MTMD位置優化方法，以此為基礎制定了MTMD參數與位置聯合優化策略，并用此策略對一個張弦梁-混凝土板組合樓蓋結構的減振系統進行減振設計，減振效果明顯，現得出如下結論：

(1)任何一階模態響應都由全部TMD控制，它們以慣性力的方式作用在各階模態上，通過振型幅值表現出不同的參與程度，在優化設計時需要考慮它們的協同作用。

(2)結合有限元法和振型分解法，以加速度響應為目標函數，以位置編號為決策變量，設計了一種MTMD的位置優化方法。

(3)MTMD參數與位置聯合優化比傳統的優化方法對MTMD減振效果的提升更大，可以將此方法運用于大跨度樓蓋結構的減振設計中。