基于EVMD-LNMF的復合故障信號分離方法

王夢陽， 王華慶， 董 方， 任幫月， 宋瀏陽

(北京化工大學 機電工程學院，北京 100029)

在旋轉機械中，由于零部件產生故障的位置與程度各有不同，經常導致多種故障特征相互耦合在一起，相比單一故障形式，復合故障發生時給機械設備帶來的危害更嚴重，診斷難度也更大，所以，對復合故障進行診斷具有重大意義。

盲源分離方法能夠在缺少一定的先驗條件下，僅通過傳感器獲取到的觀測信號，便可以分離出未知源信號，是解決復合故障信號分離的有效方法之一[1]。其中，獨立分量分析(Independent Component Analysis, ICA)，稀疏分量分析(Sparse Component Analysis, SCA)，非負矩陣分解(Non-negative Matrix Factorization, NMF)由于具有強大的理論優勢和廣泛的應用前景，已成為盲源分離的主流方法。然而，各種方法也都存在自身的不足，如當傳感器采集到的觀測源信號數目小于故障源數目時，即欠定盲分離問題，ICA和NMF算法無法直接應用；SCA算法雖然可以解決欠定盲分離問題，但要求源信號必須充分稀疏，對于實際信號很難有效提取稀疏源[2]。為了解決欠定盲分離問題，傳統的方法采用經驗模態分解 (Empirical Mode Decomposition,EMD)，集合經驗模態分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD)，變分模態分解(Variational Mode Decomposition, VMD)等算法將源信號擴充為多個虛擬的通道，再根據相關信息選取合適的分量進行盲源分離。如陳曉朦[3]將EMD與NMF算法結合實現了語音信號的盲分離；Wang等[4]運用EEMD以及ICA算法成功分離了軸承與齒輪箱復合故障信號；Tang等[5]采用VMD并結合ICA算法實現了軸承復合信號的盲分離。同時，Mirzaei等[6]提出基于貝葉斯非負矩陣分解實現了混響音頻的盲分離；Abdali等[7]利用正則化非負矩陣分解實現聲音信號的分離；文獻[8]通過頻域聚類的非負矩陣分解算法實現了心肺信號的分離提取。但各種算法也存在一定的局限性，如EMD方法出現的模態混疊、邊界效應[9]；EEMD方法復雜度較大，計算時間較長；VMD方法雖然能有效避免模態混疊問題，但對于實際信號，很難在缺少先驗知識的情況下，自適應地設定VMD中的模態個數，從而導致信號分解不徹底或出現過分解的現象。

針對VMD算法中模態分量個數選取方法存在的不足，且NMF算法由于缺少相關約束，對故障源相互耦合，特征信息較微弱分解效果并不理想，提出了基于能量收斂因子為判斷準則的能量變分模態分解(Energy Variational Mode Decomposition, EVMD)與局部非負矩陣分解(Local Non-negative Matrix Factorization, LNMF)相結合的復合故障信號分離方法。EVMD算法能夠自適應確定VMD算法中模態分量個數；LNMF算法可以有效地突出分解后的局部特征信息，將兩者結合并應用在軸承復合故障診斷中，可以準確表達源信號所包含的故障成分，增強耦合故障特征信息，分離提取出更為清晰的故障特征。

1 基本原理

1.1 變分模態分解原理

VMD的實質是基于Wiener濾波、Hilbert變換和混頻的變分問題求解過程，通過搜尋約束變分模型最優解來實現信號自適應分解[10-11]。相應的步驟可概括如下：

步驟1對于每一個模態分量um(t)，通過Hilbert變換，計算得到相關的解析信號

(1)

步驟2對每個解析信號，加入指數項調整各自預估的中心頻率ωm，把每個解析信號的頻譜調制到相應的基帶上

(2)

步驟3中心頻率ωm的帶寬由以上解調信號的H1高斯平滑度來估算，這樣就可以得到一個受約束的變分問題

(3)

步驟4在此基礎上，引入二次懲罰因子和拉格朗日乘子，使其轉換成無約束變分問題。其表達式為

(4)

式中：α為懲罰因子；λ(t)為拉格朗日乘子。

這樣變分問題就可以利用交替方向乘子算法來求解，通過交替更新中心頻率和帶寬，求取式(4)的鞍點，即得到多個模態分量，實現信號的自適應分解。

1.2 局部非負矩陣分解原理

NMF的基本思想可以簡單描述為：對任意給定的一個非負矩陣A，NMF算法能夠尋找到一個非負矩陣W和一個非負矩陣H，使其滿足

An×m=Wn×rHr×m

(5)

從而將一個非負的矩陣分解為左右兩個非負矩陣的乘積[12]。 式中：n為矩陣的維數；m為樣本個數；r為矩陣的秩。一般要求：nm>r(n+m)，即實現了數據的降維。LNMF方法是在傳統非NMF基礎上提出的，最初是應用在圖像處理領域。LNMF算法是基于KL散度模型，對目標函數施加基的正交性約束，從而減少基向量之間的冗余。

LNMF算法的目標函數如式(6)所示

(6)

式中： [uij]=U=WTW； [aij]=A=HHT；α,β為正常數。

LNMF算法主要對目標函數施加三個約束條件[13]：

(3) 計算maxaii，使基向量有最大的代表性。

Wij與Hji的迭代公式為

(7)

(8)

(9)

2 基于EVMD-LNMF的復合故障分離方法

2.1 基于能量收斂因子VMD算法(EVMD)

根據VMD算法原理可知，利用該方法進行信號處理時，必須預先設定分解模態分量個數。然而，由于實際信號受現場復雜環境的影響，模態分量個數通常很難設定，這對算法的自適應性產生嚴重影響。現有大部分都采取觀察中心頻率的方法來確定模態分量個數，當相鄰模態的中心頻率過于相近時，即出現了過分解。但這種過于相近的情況并沒有量化，均是根據經驗判斷。

針對模態分量個數選取方法存在的不足，提出了基于能量收斂因子為判據的EVMD，構造了能量收斂因子，并以其為判斷準則來確定算法中模態分量個數，即原始信號經VMD算法分解后，計算分解之后模態的總能量，將所得能量的余量與原始信號的能量作比值，并定義相鄰比值的差值為能量收斂因子Δ，如式(10)

(10)

式中：S為原始信號。

當Δ值小于一定閾值時，則認為能量收斂，此時信號分解相對完全。具體實現步驟如下：

步驟1初始化模態分量個數值M=2；

步驟2利用VMD算法對原始信號進行分解，得到多個模態分量um；

步驟4由式(10)，得能量收斂因子Δ，并更新模態分量個數M=M+1；

步驟5重復步驟步驟2～步驟4，直至滿足迭代終止條件：能量收斂因子Δ<ε，結束循環，即可自適應得到最佳模態分量個數。根據經驗及多組實驗信號驗證，文中取ε=0.02。(參考劉尚坤等的研究)

2.2 LNMF最優分解維數的獲取

對于LNMF來說，數據降維后的維數是算法中的重要參數，直接影響到特征提取的效果。如果維數值選擇過大，則會損失部分信息量，達不到準確降維的效果；維數值選擇過小，則會降低分解精度，增大信息的冗余。本文采用鄰近特征值占優法來確定維數值，即通過EVMD算法處理后，得到多個模態分量，加入原始信號組成多維信號模態矩陣Xm(t)，如式(11)

Xm(t)=[s,x1,x2,…,xm-1,xm]

(11)

然后，計算其協方差矩陣Rm(t)，并對協方差矩陣進行奇異值分解如式(12)

(12)

再對所有特征值采用降序排列，求取相鄰特征值的比值，如式(13)

Λi,j={λi/λj},i=1,2,…,n-1;
j=i+1

(13)

特征值占優法根據相鄰特征值之間的最大下降比速，即找出式(13)中的最大值，通過確定最大值來獲取最優分解維數。

2.3 基于EVMD-LNMF的復合故障分離方法

針對軸承的復合故障，本文提出了基于EVMD-LNMF的故障分離方法，具體實現步驟如下，流程圖如圖1所示。

步驟1利用EVMD算法將信號自適應地分解為多個模態分量；

步驟2對多個模態分量采用鄰近特征值占優法確定最優分解維數；

步驟3將分解后的多個模態分量重構，使其滿足LNMF算法的輸入矩陣A；

步驟4利用LNMF算法對矩陣A進行最優維數分解，得到基矩陣W和系數矩陣H；

步驟5對每個基矩陣W進行包絡頻譜分析，提取軸承的故障特征。

圖1 軸承復合故障分離流程圖Fig.1 Flow chart of bearing compound fault separation

3 仿真信號分析

為驗證所提算法的有效性，使用兩個不同的源信號通過隨機矩陣混合為單通道的觀測信號，具體表達式如式(14)和式(15)所示

(14)

S(t)=A[s1(t),s2(t)]T

(15)

式中：a1=0.4；f1=200 Hz；a2=1；fn=3 000 Hz為固有頻率；g=0.1為阻尼系數；T=1/95 s為重復周期，即特征頻率為95 Hz，采樣頻率fs=25 600 Hz，并取0.4 s時間片段，A=[0.814 7，0.905 8]，為一個隨機產生的混合矩陣，通過式(15)混合得到復合信號S(t)， 混合信號歸一化后的時域波形圖和頻譜圖，如圖2所示。

根據所提出的方法，首先利用EVMD算法對原始信號進行處理，即根據“2.1”節中的步驟計算出不同模態數下能量余量的比值Ei(i=2,3,…)，結果見表1。進而得到能量收斂因子Δ12=0.928 1，Δ23=0.013 2。因為Δ23=0.013 2<ε，所以最佳分解模態個數為2。同時，因為模態個數為2，也可直接確定最優分解維數值為2。

表1 不同模態數下所得能量余量的比值

圖2 仿真信號時域圖及頻譜圖Fig.2 Waveform and spectrum of simulated signals

然后，對模態分量重構并作其局部非負矩陣分解，得到分離結果的時域圖和頻譜圖，歸一化處理后如圖3和圖4所示。

圖3 分離信號時域圖Fig.3 Waveform of separated signals

圖4 分離信號頻譜圖Fig.4 Spectrum of separated signals

從圖4可以看出，經EVMD-LNMF方法處理后可以分離得到兩種信號成分，分別為200 Hz信號和95 Hz信號，這與所假定源信號特征成分相同。因此從仿真信號的分析中可以得出結論，本文所提出的方法可以有效地從混合信號中分離得到源信號，在頻譜中也可以提取源信號特征頻率，驗證了該方法在復合信號分離的有效性。

4 實驗驗證

4.1 信號采集

為了進一步驗證所提方法的有效性，采用實測的軸承信號為研究對象。采用NTN N204型號的圓柱滾子軸承，用線切割的方法分別在軸承的外圈和滾動體上加工寬度為0.5 mm、深度為0.15 mm的缺陷。將電機轉速設為1 300 r/min和900 r/min，采樣頻率為100 kHz，采樣時間為10 s。由式(16)和式(17)及軸承參數(見表2)可以計算得到滾動軸承各部件的理論特征頻率，如表3所示。

表2 軸承NTN N204參數

表3 各部件的理論特征頻率

外圈缺陷特征頻率(fo)

(16)

滾子缺陷特征頻率(fb)

(17)

式中：z為滾子數目；d為滾珠的直徑；D為外節圓直徑；α為滾子與保持架間的接觸角；fr為電機轉頻。

4.2 結果分析

通過實驗臺采集得到1 300 r/min外圈與滾子復合故障信號，截取0.1 s數據片段歸一化后的時域波形如圖5所示。其歸一化后的包絡頻譜圖如圖6所示。

圖5 原始信號時域圖Fig.5 Waveform of signal

圖6 原始信號包絡頻譜圖Fig.6 Envelope spectrum of signal

由時域波形圖可以明顯地看出沖擊性，表明該軸承已發生故障。在包絡頻譜圖中，外圈缺陷特征可以明顯識別出來，但是滾子缺陷特征被噪聲成分淹沒，難以識別。在頻譜圖中18 Hz左右處出現的峰值，該頻率值與保持架的轉動頻率即軸承滾動體公轉頻率的二次諧波相近，因此該峰值可能是由滾動體運動沖擊造成的。

根據論文提出的方法，首先利用EVMD算法對原始信號進行處理，即根據“2.1”節中的步驟計算出不同模態數下所得能量余量的比值Ei(i=2,3,…)，結果見表4，進而得到能量收斂因子Δij(i=1,2,…,M;j=i+1)，如表5所示。

表4 不同模態數下所得能量余量的比值

表5 能量收斂因子

從表5可知，Δ67=0.014 5<ε，即可以認為信號分解完全，所以最佳分解模態數為6。

此時，將最佳的6個模態分量與原始信號組成模態矩陣，并對其進行協方差計算及奇異值分解，得到相應的特征值，如表6所示。

表6 模態矩陣特征值

根據表6，作相鄰特征值的比值可得知， maxΛi,j=λ1/λ2=6.61，即LNMF中最優分解維數為2，也說明原始信號中存在兩種故障源成分，通過LNMF分離并作歸一化處理，得到的包絡頻譜圖，如圖7所示。

圖7 EVMD-LNMF信號分離頻譜圖Fig.7 Spectrum of separated signals

由圖7可知，經EVMD-LNMF方法處理后可以分離得到兩種源信號成分，分別對應外圈故障特征頻率和滾動體故障特征頻率，這與理論計算出的特征成分相吻合，并且各自的高次諧波也被明顯地提取出來。因此，從實驗結果可以得出結論，本文所提出的方法可以有效地從單通道混合信號中分離出故障源信號，在包絡頻譜中也可以提取出故障特征頻率，驗證了該方法在軸承復合故障診斷中的有效性。

進一步驗證所提方法的有效性，選用900 r/min外圈與滾子復合故障信號，截取0.1 s數據片段歸一化后的時域圖及包絡頻譜，如圖8和圖9所示。

圖8 原始信號時域圖Fig.8 Waveform of signal

圖9 原始信號包絡頻譜圖Fig.9 Envelope spectrum of signal

通過所提出方法進行分離，并作分離后的包絡頻譜圖，歸一化后如圖10所示。

圖10 EVMD-LNMF信號分離頻譜圖Fig.10 Spectrum of separated signals

從圖10可知，經EVMD-LNMF方法處理后得到與理論值相吻合的外圈故障和滾動體故障特征頻率，并且各自的高次諧波也被明顯地提取出來。驗證了該方法在軸承復合故障診斷中的有效性。

4.3 與VMD-LNMF算法對比分析

為了驗證本文所提出基于能量收斂因子確定VMD算法中模態分量個數方法的優勢，與未改進的VMD算法進行對比。這里選用1 300 r/min的實驗數據，將未改進VMD算法中模態分量個數設為7，并對原始信號進行分解，得到7個模態分量，將模態分量重構使其滿足LNMF算法的輸入矩陣。然后對重構的模態矩陣采用LNMF算法分離，得到兩個源信號，歸一化后作其包絡頻譜圖，如圖11所示。

圖11 VMD-LNMF信號分離頻譜圖Fig.11 Spectrum of separated signals

從圖11可知，存在于原始信號中的兩種故障源成分，經過未改進的VMD與LNMF算法處理后，并未得到有效分離，僅可以識別出外圈故障特征頻率成分，而滾動體故障成分被淹沒。說明當VMD算法中模態分量個數未達到最優值時，信號不能得到有效分離。

4.4 與EVMD-NMF算法對比分析

為了驗證LNMF算法在軸承復合故障診斷的優勢，分離階段采用傳統的NMF算法進行對比。首先將VMD算法中模態分量個數設定為最優值6，并對原始信號進行分解，得到6個模態分量，將其重構滿足其作為NMF算法的輸入矩陣，然后采用傳統的NMF算法對重構的模態矩陣分離，得到兩個源信號，歸一化后作其包絡頻譜圖如圖12所示。

圖12 EVMD-NMF信號分離頻譜圖Fig.12 Spectrum of separated signals

從圖12可知，經過EVMD與傳統NMF算法處理后，并未對原始復合故障信號實現有效分離，僅外圈故障特征頻率成分比較明顯，滾動體故障成分被淹沒。而通過LNMF算法可以有效地分離出外圈和滾動體故障成分，對比圖12和圖7可知，由于LNMF增強了基向量之間的獨立性，因而可以分離出源信號。圖12中由于傳統NMF算法缺少相關約束，導致基向量之間存在冗余，無法準確描述兩個故障源信號。從而驗證了LNMF在軸承復合故障診斷中的獨特優勢。

5 結 論

(1) 針對復合故障難以分離提取的問題，提出了基于EVMD-LNMF的復合故障信號分離方法。首先，構造了能量收斂因子，并以其為判斷準則，自適應確定VMD算法中最佳模態分量個數，解決了實際信號由于背景噪聲干擾嚴重，模態分量個數難以確定的問題。

(2) 采用鄰近特征值占優法獲取LNMF算法中的最優分解維數，估計出耦合故障信號源數目，實現了矩陣的準確降維。

(3) 結合LNMF算法，增強了信號分離后彼此之間的獨立性，減少相關信息的冗余，有效提取出耦合故障特征信息，實現了軸承的復合故障診斷，并且同未改進的VMD-NMF方法相比，分離效果更佳，優勢明顯。