裂紋故障對斜齒輪時變嚙合剛度及振動響應的影響分析

林騰蛟， 郭松齡， 趙子瑞， 魏 靜

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

齒輪傳動系統作為機械設備中重要的運動和動力傳遞部件，廣泛應用于航空航天、交通運輸、船舶海洋等領域。由于齒輪系統結構復雜、工作環境較為惡劣，使其在服役期間容易發生故障，影響設備的可靠運行，嚴重時還會引起生產安全事故[1]。齒輪系統動力學分析可為早期故障診斷提供良好的理論基礎，而準確有效的時變嚙合剛度計算方法又是進行動力學分析的關鍵。因此，研究含裂紋故障的齒輪副時變嚙合剛度，分析齒根裂紋對齒輪系統動態特性的影響規律，對齒輪系統的早期故障診斷具有重要意義。

針對裂紋故障齒輪副的嚙合剛度計算及動態特性分析，目前國內外學者已經做了諸多研究工作。Yang等[2]從能量角度提出了運用勢能法來計算齒輪副的時變嚙合剛度；Chaari等[3]運用解析法求得了兩種裂紋參數下單對直齒輪副的時變嚙合剛度，分析了裂紋參數對齒輪嚙合剛度的影響規律；萬志國等[4]在運用勢能法求解直齒輪副嚙合剛度時，考慮了基圓與齒根圓不重合的問題，提出了一種改進算法；Chen等[5-6]基于能量法計算了裂紋直齒輪副的時變嚙合剛度，對比分析了不同裂紋參數下齒輪副的嚙合剛度和振動響應；王旭等[7]對含齒根裂紋故障的齒輪系統進行動力學仿真，而后采用正交小波包和倒頻譜相結合的方法對故障特征進行了提取與分析；馬銳等[8]建立了單對齒輪副扭轉振動參數化動力學模型，對裂紋故障的非線性機理進行了研究；Saxena等[9]采用勢能法求得了直齒輪副的嚙合剛度，研究了不同裂紋長度對齒輪轉子系統模態特性及頻率響應特性的影響；Pandya等[10]采用有限元法探究了不同齒輪參數下裂紋擴展路徑對嚙合剛度的影響；馮剛等[11]建立了含裂紋弧齒錐齒輪三維接觸模型，采用有限元法研究了裂紋對齒輪嚙合剛度的影響；Wan等[12]采用勢能法求解了裂紋斜齒輪嚙合剛度，分析了不同裂紋深度和長度對嚙合剛度的影響，并求解了故障狀態下齒輪副的振動響應；胡興龍[13]針對風電增速箱中的斜齒輪副，采用能量法計算嚙合剛度，并對帶裂紋損傷的風電傳動系統進行了動力學仿真。以上文獻大多是針對裂紋直齒輪開展的研究工作，而很少有文獻對裂紋斜齒輪的嚙合剛度及動態特性進行研究。Wan等和胡興龍在研究裂紋斜齒輪的嚙合剛度時，將輪齒簡化為基圓上的變截面懸臂梁，忽略了裂紋區及基圓至齒根圓段輪齒的變形能，導致計算結果存在一定誤差。

本文基于上述研究成果，提出一種含裂紋故障斜齒輪副時變嚙合剛度的改進算法，將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，在考慮基圓與齒根圓不重合因素的同時，計入裂紋區的變形能，可有效減小計算誤差；然后建立“齒輪-軸-軸承”耦合動力學模型，模擬齒根裂紋故障的振動響應，并分析不同裂紋參數對傳動系統動態特性的影響規律。

1 無故障斜齒輪時變嚙合剛度計算

齒輪時變嚙合剛度是由嚙合齒數和輪齒接觸位置的周期變化所引起的時變函數，是引起齒輪副內部動態激勵的重要原因，正確有效的時變嚙合剛度算法有助于更好地探明齒輪系統的動力學特性。

由于斜齒輪存在螺旋角，嚙合過程由輪齒一端面進入嚙合到另一端面退出嚙合，其齒面接觸線長度具有時變性。斜齒輪嚙合剛度算法與直齒輪不同，基于積分方法，將其輪齒沿齒寬方向切分成若干薄片，每一薄片可近似視為直齒輪，通過計算各薄片嚙合剛度并積分，即可得到斜齒輪嚙合剛度。

綜合考慮輪齒的接觸、彎曲、剪切、軸向壓縮及基體彈性剛度，采用能量法計算齒輪副嚙合剛度，其綜合嚙合剛度可表示為[14]

(1)

式中：kh為接觸剛度；kb為彎曲剛度；ks為剪切剛度；ka為軸向壓縮剛度；kf為基體彈性剛度。

1.1 赫茲接觸剛度

根據赫茲接觸理論，嚙合斜齒輪副的赫茲接觸剛度kh可表示為

(2)

式中：E為楊氏模量；L為接觸線長度；ν為泊松比。

1.2 彎曲、剪切及軸向壓縮剛度

Wan等計算斜齒輪嚙合剛度時，將輪齒簡化為基圓上變截面懸臂梁模型，當齒根圓半徑小于基圓半徑時，沒有計算基圓與齒根圓間輪齒部分的變形能；而當齒根圓半徑大于基圓半徑時，多計算了基圓與齒根圓間輪齒部分的變形能，這將導致嚙合剛度計算產生一定的誤差。為此本文對其作了改進，將輪齒假設為齒根圓上的懸臂梁，如圖1所示?；鶊A以上齒廓為漸開線(C1M和D1N段)，為便于公式推導，采用直線CC1和DD1簡化表示齒根處齒廓。

(a)Rb>Rr

(b)Rb

采用積分方法，厚度為dy的每一片輪齒薄片的彎曲變形能可表示為

(3)

式中：d(y)為嚙合點和齒根在齒高方向的距離；h(y)為嚙合點和齒輪中心線的距離；dIx為距離齒根x處截面的面積慣性距。

當Rb>Rr時，上述變量的表達式為

(4)

將式(4)代入式(3)，積分后得到嚙合力F作用下輪齒的彎曲剛度kb為

(5)

其中，

由于式(5)的分母不可積分，采用求和方法替代積分方法來求解，于是式(5)可重新表示為

(6)

式中：Δy=l/N；l為接觸線長度L在齒寬方向上的投影，表示為l=Lcosβb；N為斜齒輪沿齒寬方向切分的切片份數。

同理可導出剪切及軸向壓縮剛度的計算式為

(7)

其中，

(8)

當Rb

(9)

(10)

(11)

其中，

(12)

(13)

(14)

式中：α和αf分別為分度圓和齒根圓壓力角。

1.3 基體彈性剛度

將每一片輪齒薄片的基體剛度對dy進行積分，即可得到輪齒基體剛度，其表達式為

(15)

式中：L*,M*,P*,Q*為尺寸系數，其計算式參見文獻[15]；uf和Sf如圖1(a)所示，其表達式為

uf=Rb[(α1+α2)sinα1+cosα1]-Rr

Sf=2Rrα3

2 裂紋故障斜齒輪時變嚙合剛度計算

當齒輪副存在齒根裂紋時，赫茲接觸剛度、軸向壓縮剛度和基體剛度不變，僅彎曲剛度和剪切剛度會受到齒根裂紋的影響，故需重新推導裂紋輪齒的彎曲剛度和剪切剛度，進而得出裂紋故障斜齒輪的嚙合剛度計算式?？紤]到Rb>Rf與RbRf時的推導過程。圖2為斜齒輪的齒根裂紋模型，圖2中,ha為裂紋終止點到輪齒中心線的距離，αa為當載荷F的作用點移動到K點時的齒輪嚙合角。根據F的作用點是否位于裂紋影響區域內，分兩種情況來討論齒根裂紋。

2.1 F的作用點位于裂紋影響區域以外

由于齒根裂紋的存在，不僅輪齒有效截面的面積發生改變，而且輪齒懸臂梁的有效長度也從齒根處延伸到了裂紋終止點的位置。因此在推導裂紋輪齒嚙合剛度時，從裂紋終止點開始積分，計入裂紋區輪齒的變形能，以提高計算的準確性，此時輪齒有效截面的面積和慣性矩計算式為

圖2 斜齒輪裂紋輪齒模型Fig.2 Cracked tooth model of helical gear

(16)

(17)

其中，

ha=Rbsinα2-q1sinv

(18)

(19)

將式(18)、式(19)代入式(3)，積分后可得裂紋輪齒的彎曲剛度表達式為

(20)

其中，

同理可導出剪切剛度的計算式為

(21)

2.2 F的作用點位于裂紋影響區域以內

當載荷F的作用點位于裂紋影響區域內時，輪齒有效截面的面積和慣性矩計算式為

Ax=(ha+hx)L

(22)

(23)

同理可得裂紋輪齒的彎曲剛度、剪切剛度的表達式分別為

(24)

(25)

分別采用有限元方法、Wan等研究中的未改進算法和本文中的改進方法計算基圓半徑大于和小于齒根圓半徑情況下的裂紋斜齒輪的嚙合剛度。表1給出了兩個算例的齒輪副相關參數，主、從動輪參數相同，計算結果如圖3所示。由圖3可知，本文提出的計算裂紋斜齒輪嚙合剛度方法與有限元方法計算結果較為接近，算例一中由于Wan等的研究中沒有計算基圓與齒根圓之間的變形能，導致嚙合剛度偏大；算例二中由于Wan等的研究中多計算了基圓與齒根圓之間的變形能，導致嚙合剛度偏小。因此，采用本文的改進方法可以更準確的計算含裂紋斜齒輪的嚙合剛度。

表1 裂紋齒輪副計算參數

(a)z=22

(b)z=58圖3 裂紋斜齒輪嚙合剛度對比曲線Fig.3 Comparison of mesh stiffness of cracked helical gear

3 裂紋參數對齒輪時變嚙合剛度的影響

齒根裂紋可通過裂紋角v、前端面裂紋長度q、后端面裂紋長度q0及裂紋長度Lc等參數加以確定。本節針對表2所示的齒輪副，通過調整裂紋參數v,q,q0,Lc的值來研究不同齒根裂紋角度、深度、長度對斜齒輪副嚙合剛度的影響，本算例中主動輪的輸入轉速為1 500 r/min。

表2 裂紋齒輪副基本參數

設定q為2 mm，q0為0，Lc為30 mm，即裂紋為貫穿型且裂紋深度在齒寬方向上線性變化，針對v為30°,45°及60°三種不同裂紋角度情況進行斜齒輪副時變嚙合剛度計算，求解結果如圖4所示。由圖4可知，不同裂紋角度對齒輪副嚙合剛度的影響較小，隨著裂紋角度的增大，嚙合剛度略微增大。

圖4 不同裂紋角度下的齒輪副嚙合剛度Fig.4 Mesh stiffness of gears with different crack angles

設定v為45°，Lc為30 mm，q0為0，針對q為1 mm,2 mm,3 mm三種不同裂紋深度情況進行齒輪副時變嚙合剛度計算，求解結果如圖5所示。由圖5可知，不同裂紋深度對齒輪副嚙合剛度的影響較大，隨著裂紋深度的增大，嚙合剛度隨之減小，且減小幅度有所減小。

圖5 不同裂紋深度下的齒輪副嚙合剛度Fig.5 Mesh stiffness of gears with different crack depths

設定v為45°，q為3 mm，q0為0，針對Lc為10 mm,20 mm,30 mm三種不同裂紋長度情況進行齒輪副時變嚙合剛度計算，其計算結果如圖6所示。由圖6可知，當裂紋長度Lc為10 mm時，齒根裂紋對綜合嚙合剛度的影響較小，隨著Lc的增大，嚙合剛度隨之減小，且減小幅度明顯增大。

4 傳動系統耦合動力學模型

以單級裂紋故障斜齒輪副傳動系統為研究對象，為了考慮傳動軸的軸向、橫向及扭轉變形，采用Timoshenko梁單元將各軸離散化，軸段單元如圖7所示。由圖7可知，A，B兩節點都有六個自由度(三個沿坐標軸的平移自由度以及三個繞坐標軸的轉動自由度)，軸段單元i的位移向量可表示為

qi={xi,yi,zi,θxi,θyi,θzi,xi+1,yi+1,zi+1,θxi+1,θyi+1,θzi+1}

(26)

圖7 軸系單元坐標系Fig.7 Coordinate system for shafting element

軸段單元的自由振動方程為

(27)

式中：Mi,Ki,Ci,Gi分別為第i個軸段單元的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣、陀螺力矩陣；Mi,Ki,Gi的具體形式可參見文獻[16]。阻尼矩陣Ci采用瑞利阻尼的形式，即

Ci=αMi+βKi

(28)

式中：α,β分別為質量比例系數和剛度比例系數。

將齒輪副視為一對通過彈簧和阻尼器連接的剛性圓盤，考慮齒輪的質量、轉動慣量及陀螺效應，采用嚙合單元來模擬主、從動輪的嚙合關系，如圖8所示。嚙合單元的動力學方程為

(29)

圖8 斜齒輪副動力學模型Fig.8 Dynamic model of helical gears

式中：Mpg,Cpg,Kpg,Gpg分別為嚙合單元的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、陀螺力矩陣；F為載荷向量；qpg為齒輪副的位移向量，其表達式為

qpg={xp,yp,zp,θxp,θyp,θzp,xg,yg,zg,θxg,θyg,θzg}

(30)

式中：x，y為橫向自由度；z為軸向自由度；θx,θy為擺動自由度；θz為扭轉自由度。

考慮軸承支撐剛度時，由于文中未考慮箱體的柔性，因此直接將支撐剛度矩陣耦合到軸承所對應的軸節點上，軸承的支撐剛度矩陣為

KB=diag(kxx,kyy,kzz,kθxθx,kθyθy,0)

(31)

式中：kxx,kyy為徑向支撐剛度；kzz為軸向支撐剛度；kθxθx,kθyθy分別為繞x軸與y軸的扭轉剛度。

將軸段單元與齒輪副嚙合單元的動力學方程耦合起來，并考慮軸承支撐剛度，即可得到整個系統的動力學方程為

(32)

式中：M,C,G,K分別為整個系統的質量矩陣、阻尼矩陣、陀螺力矩陣、剛度矩陣;q為系統的節點位移向量；F(t)為系統的載荷向量。

采用表2中的齒輪參數進行動力學仿真，傳動系統模型如圖9所示，輸入軸與輸出軸幾何尺寸相同，輸入功率為40 kW，輸入轉速為1 500 r/min，軸段參數如表3所示，軸承支撐剛度如表4所示。

圖9 傳動系統耦合動力學模型Fig.9 Coupling dynamic model of the transmission system

Tab.3 The parameters of the input and output shaftmm

表4 軸承支撐剛度

5 傳動系統動態特性分析

針對上節給出的傳動系統參數及模型，采用軸系單元法建立傳動系統的“齒輪-軸-軸承”耦合動力學模型，將計算所得的齒輪副時變嚙合剛度與靜態傳動誤差合成為齒輪副內部動態激勵，作為傳動系統的輸入激勵，采用Newmark-β數值法求解系統的振動響應。

靜態傳動誤差e(t)可表示為

e(t)=ersin(2πfmt+φ)

(33)

式中：er為輪齒誤差幅值；fm為嚙合頻率；φ為相位角，取φ=0。

假設主動輪中僅有一個輪齒存在齒根裂紋，從動輪為正常齒輪，當q=1時的齒輪副時變嚙合剛度,如圖10所示。由圖10可知，當裂紋輪齒進入嚙合時，齒輪副的時變嚙合剛度出現局部減小。

圖10 齒輪副時變嚙合剛度(q=1)Fig.10 Time-varying mesh stiffness of gears when q=1

圖11和圖12分別給出了無故障以及前端面裂紋長度q=1時的輸出軸左端軸承(軸承3)節點處的x向振動加速度的時域曲線及頻域曲線，其中fm表示嚙合頻率。由圖可知，無裂紋故障時的加速度時域曲線存在周期性沖擊響應，其頻譜僅含嚙合頻率及其倍頻成分；含裂紋故障的響應曲線除了存在正常齒輪的嚙合沖擊外，當裂紋輪齒參與嚙合時，還會產生更加明顯的沖擊響應，相鄰兩個沖擊的間隔為0.04 s，為故障齒輪的轉動周期。頻域響應譜中出現了以嚙合頻率為中心的調制邊頻帶，邊頻間隔Δf為25 Hz，即故障齒輪的轉頻，該邊頻成分可用于診斷傳動系統的裂紋故障。

(a) 無裂紋故障

(b)含裂紋故障圖11 軸承3的x向加速度時域響應Fig.11 Time domain responseof x direction acceleration for bearing 3

(a)無裂紋故障

(b)含裂紋故障圖12 軸承3的x向加速度頻域響應Fig.12 Frequency domain response of x direction acceleration for bearing 3

6 裂紋故障對傳動系統動態特性的影響

為了研究不同裂紋尺寸對傳動系統動態特性的影響，針對“3”節中的裂紋參數，計算不同裂紋深度和不同裂紋長度下的傳動系統動態響應。圖13為不同裂紋深度下軸承3處x向加速度的時域及頻域曲線。由圖13可知，當裂紋深度為1 mm時，軸承3處的加速度時域圖中出現了沖擊現象，隨著裂紋深度的增加，時域沖擊的幅值增加，沖擊現象愈加明顯。從加速度頻域圖中可知，當存在齒根裂紋時，嚙合頻率及其倍頻附近出現了頻率間隔為25 Hz的邊頻帶，其幅值隨著裂紋深度的增加而增大。

圖14為不同裂紋長度下軸承3處x向加速度的時域及頻域曲線。由圖14可知，當裂紋沿齒寬方向的長度為10 mm時，軸承3處的加速度響應與正常齒輪傳動系統的差別不大，隨著裂紋長度的增加，時域沖擊的幅值增大，當裂紋長度擴展到整個齒寬(Lc=30 mm)時，沖擊現象十分顯著。從頻域圖中可知，隨著裂紋長度的增加，峰值頻率及其邊頻帶處振動加速度幅值均有較大的增加。

(a)時域響應

(b)頻域響應圖13 不同裂紋深度下的振動響應Fig.13 Vibration response with different crack depths

(a)時域曲線

(b)頻域曲線圖14 不同裂紋長度下的振動響應Fig.14 Vibration response with different crack lengths

7 結 論

(1)將輪齒簡化為齒根圓上的變截面懸臂梁，綜合考慮基圓與齒根圓不重合因素及裂紋區的變形能，提出了一種含裂紋故障斜齒輪副時變嚙合剛度的改進算法，通過與文獻中已有方法及有限元法計算結果對比分析，驗證了改進算法的精確性。

(2)不同裂紋角度對齒輪副嚙合剛度的影響較小，但不同裂紋深度及裂紋長度對齒輪副嚙合剛度的影響較大，隨著裂紋深度及裂紋長度的增大，嚙合剛度會有較大幅度的減小。

(3)建立了含裂紋故障傳動系統耦合動力學模型，通過動力學仿真得出，存在齒根裂紋時系統時域響應中出現了周期性的沖擊現象，相鄰兩個沖擊間隔時間為故障齒輪轉動周期；頻域響應中出現了以嚙合頻率及其倍頻為中心的調制邊頻帶，邊頻間隔為故障齒輪轉頻；隨著裂紋深度及裂紋長度的增加，系統的振動響應顯著增加。