如何培養學生高中數學直觀想象能力

黃旭明

(福建省福安市第三中學 355002)

直觀的本質就是在直接接觸客觀事物的過程中所產生的感性認識，而想象的本質是在人類大腦之中對已經存在的表象予以加工而產生了一種新形象的一種心理過程.數學直觀想象力就是在幾何直觀與空間想象當中，去對事物的變化和基本形態進行感知，最后通過對圖形的理解來解決一些數學問題.它是數學核心素養的重要組成部分之一，在數學教學當中直觀想象有三種基本表現形式，即利用圖形構建直觀模型、運用圖形理解數學問題、利用圖形解決數學問題.能夠看出來，不論是哪一種表現形式都無法脫離圖形而存在，因此這就需要教師在教學的過程中加大對學生作圖與識圖能力的培養.

一、通過數形聯系，培養圖形運用能力

直觀想象的本質就是通過對圖形進行理解，以此來解決一些數學問題.在高中數學之中，數與形之間有著密不可分的聯系，將這兩者的聯系建立起來，可以有效促進學生對問題的認知與理解，進而快速尋找到解決問題的方式.“數缺形少直觀，形缺數難入微.”通過數形結合的方式解決數學問題，不但要讓學生將原本抽象的題目直觀化，還應該要加大對學生圖形洞察力的培養，使其可以依照圖形之中的已知信息對結論進行直觀推理，然后獲得解題思路，提升直觀想象核心素養.

在高中數學之中向量一直以來都是非常重要的一項考察點，它不僅具有代數的抽象性和嚴謹性，同時還具備幾何的直觀性.因此在各大考試過程中都尤為重視學生對向量運算法則的掌握情況和對幾何意義的理解.如果在教授向量的時候，可以引導大家先將向量的本質認識清楚，并學會運用圖形去解決一些問題，除了可以縮減學生解題的時間之外，還能夠培養起來學生的直觀想象力，進而提升大家運用圖形的能力.

例1 已知|a|=|b|=1,a·b=0,且|c-a-b|=1,那么|c|的最大值為____.

解析由于向量本身就是數形相互結合發展出來的，那么在解決這類問題的時候就需要將向量加減法的基本幾何意義把握住，然后再通過圖形，將向量幾何的直觀性完全呈現出來，以此來有效解決問題.

對于這一道例題來說，在解答的時候就可以依照這一思路進行.具體：

圖1

通過這一例題分析之后能夠讓學生對向量加法與減法存在的幾何意義有更深一步的理解，并且還可以讓大家能夠感受到通過對圖形的認識便能夠快速解決一些數學問題，進而有利于培養大家的直觀想象力，從而提升圖形運用的能力.

二、通過模型，培養空間思維

教師在教學的時候還需要重點引導大家通過構造直觀模型解決一些數學問題，一般構造的直觀模型主要包含有立體幾何、解析幾何以及平面幾何.在立體幾何當中主要包含有四面體及長方體等等；在解析幾何模型之中主要是點與線之間的距離、點與點之間的距離、圓錐曲線、斜率等等；在平面幾何之中主要包含有三角形、圓等.這種直接將數學問題直觀化的模式能夠促進對問題的推理及把握，進而簡化數學問題.這也是目前培養直觀想象核心素養最有效的一項途徑.

比如，在高中數學教材當中，立體幾何與幾何模型的制作有著極為密切的聯系，所以在教授這節內容的時候就需要引導學生們加強對模型的觀察，并讓大家在制作模型的過程中加強對數學問題的思考.在解答立體幾何的過程中，可以將一些特殊模型運用進去，例如長方體或者正方體等，就可以讓大家直觀感受到這些模型之中點線面所存在的基本位置關系，從而就可以積累出來立體幾何的表象，提升對立體圖形的直觀感，最后養成空間思維的基本能力，這對于培養學生直觀想象力同樣也具備一定的積極意義.

例2 (見2014年全國卷)如圖2，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( ).

圖2

通過對這一例題的基本解讀能夠發現，它主要是要求學生將三視圖還原成為一個幾何體，然后在其中找到最長的棱.這類題目在各大考試當中非常常見，通常會對學生的想象力和空間思維能力提出較高的要求，因此大部分人都不會做.如果在教學的時候，將特殊模型運用進去，讓學生將模型的正、俯、側三個視圖分別當作幾何體在模型之中里、底與右側三面的投影，就可以有效增強題目的直觀性，進而激發學生的空間想象力.以后學生在遇到類似題目無法有效還原的時候，還可以讓大家在特殊模型之中將幾何體的頂點確定出來，最終將幾何體還原出來.

就例2來講，就可以完全選擇一個棱長是4的正方體，從其俯視圖當中就可以得知，其頂點是不會出現在A點和A1點的，也就是可以直接將這兩個頂點排除掉，借用相同的理由在正視圖當中還能夠再將A點與D點排除掉；又在側視圖當中將B點與B1點排除掉，那么剩下的三個頂點就會成為幾何體的頂點，接下來再依照正視圖就能夠將三棱錐的第四個頂點確定出來，即棱BB1的中點E.所以最后的幾何體就是E-CC1D1，最長的一條棱就是ED1,其長度為6.

在培養學生直觀想象力的過程中，運用空間幾何體的三視圖可以起到事半功倍的效果，并且在特殊模型的作用下，還可以有效提升大家的直觀感受，并給想象力的發揮創設更廣闊的空間，進而整個解題過程變得更加迅速和便捷，最后提升學生的直觀想象力.

三、通過圖象特征理解，培養數形結合

在高中數學學習過程之中函數是非常關鍵的一項研究對象，其圖象基本的幾何特征可以將函數的基本性質有效展現出來，另外借助于圖象還能夠迅速找到解決問題的方式.在培養直觀想象力的過程中直觀洞察力是非常顯著的一項特征，它的本質就是人類在獲得既定情境圖象的基本信息之后，可以將這些信息和自己已經具備的知識體系相互聯系起來，并從中將解決問題的能力篩選出來.所以能夠發現，讓學生將基本初等函數的基本圖象特點和一些較為常見的圖形變換掌握并完全理解，可以有效促進在解題方面的洞察力，最終提升直觀想象力，與此同時運用得當還能夠反過來促使數形結合能力得以提升.

例3 若函數f(x)的定義域是R，其圖象關于原點對稱，當x>0時,f(x)=x3-2，那么函數f(x+2)全部的零點和是( ).

通過對上述例題的初步分析能夠發現，這重點是考察求函數圖象的基本性質，其中f(x)是奇函數，所以這就能夠發現，當x>0的話，那么其函數f(x)的解析式就能夠輕易得到，同理f(x+2)的解析式也能夠獲得，最后就可以將所有零點的和解出來.但是這道題目如果使用這種方式直接進行解答的話，那么整體計算量相對就會比較大，所以這就可以將其奇偶函數的基本性質結合進去，站在函數圖象變換的角度上來解答這一例題就能夠迅速得到答案.

解析由題目可以得知f(x)是奇函數，當其x>0的時候，f(x)=x3-2.

通過圖象可以獲得(圖3)，f(x)存在一個大于0的零點，即x1(x1>0)；再從其奇函數的基本性質能夠得到，f(x)存在一個小于0的零點，即x2(x2<0)，并且這兩個零點都是關于原點對稱的，再從其函數性質能夠獲得f(0)=0，也就是其函數零點x3=0.

圖3 圖4

將其f(x)的圖象向左面平移兩個單位就可以獲得f(x+2)的圖象(圖4)，將其f(x)的零點向左面平移兩個單位可以獲得f(x+2)的零點，并且其零點x4與x5是關于(-2,0)對稱的，而x6=-2，所以最終就能夠獲得f(x+2)的全部零點和就是-6.

在解決上述的例題的時候，將學生比較熟悉的圖象平移變換以及對稱等相應的知識內容應用進去，就可以及時獲得題目之中的一些特定信息，由此就可以再依照直觀洞察力直接獲得最終題目的答案.總結來說，圖象的基本特點和變換是培養直觀洞察力的重要基礎，教師在上課的時候除了要讓大家可以精準地觀察并繪制圖形之外，還要讓大家盡量掌握函數之中圖象的基本變換情況，這樣一來不但可以提升學生的直觀洞察能力，培養直觀想象力，還能夠反過來促進數形結合能力的提升.

總的來說，在教學的時候培養大家的直觀想象力其本質就在于培養大家通過數學視角去觀察和理解世界，并通過相應的方式，以圖形、模型和圖象為載體，促進學生運用圖形能力的提升，并進一步培養基本的空間想象力.這樣一來不但能夠直接簡化一些數學問題，還能夠促進大家創新思維的提升，進而發展起來基本的直觀核心素養.