如何培養(yǎng)學(xué)生高中數(shù)學(xué)直觀想象能力

黃旭明

(福建省福安市第三中學(xué) 355002)

直觀的本質(zhì)就是在直接接觸客觀事物的過程中所產(chǎn)生的感性認識，而想象的本質(zhì)是在人類大腦之中對已經(jīng)存在的表象予以加工而產(chǎn)生了一種新形象的一種心理過程.數(shù)學(xué)直觀想象力就是在幾何直觀與空間想象當(dāng)中，去對事物的變化和基本形態(tài)進行感知，最后通過對圖形的理解來解決一些數(shù)學(xué)問題.它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中直觀想象有三種基本表現(xiàn)形式，即利用圖形構(gòu)建直觀模型、運用圖形理解數(shù)學(xué)問題、利用圖形解決數(shù)學(xué)問題.能夠看出來，不論是哪一種表現(xiàn)形式都無法脫離圖形而存在，因此這就需要教師在教學(xué)的過程中加大對學(xué)生作圖與識圖能力的培養(yǎng).

一、通過數(shù)形聯(lián)系，培養(yǎng)圖形運用能力

直觀想象的本質(zhì)就是通過對圖形進行理解，以此來解決一些數(shù)學(xué)問題.在高中數(shù)學(xué)之中，數(shù)與形之間有著密不可分的聯(lián)系，將這兩者的聯(lián)系建立起來，可以有效促進學(xué)生對問題的認知與理解，進而快速尋找到解決問題的方式.“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微.”通過數(shù)形結(jié)合的方式解決數(shù)學(xué)問題，不但要讓學(xué)生將原本抽象的題目直觀化，還應(yīng)該要加大對學(xué)生圖形洞察力的培養(yǎng)，使其可以依照圖形之中的已知信息對結(jié)論進行直觀推理，然后獲得解題思路，提升直觀想象核心素養(yǎng).

在高中數(shù)學(xué)之中向量一直以來都是非常重要的一項考察點，它不僅具有代數(shù)的抽象性和嚴謹性，同時還具備幾何的直觀性.因此在各大考試過程中都尤為重視學(xué)生對向量運算法則的掌握情況和對幾何意義的理解.如果在教授向量的時候，可以引導(dǎo)大家先將向量的本質(zhì)認識清楚，并學(xué)會運用圖形去解決一些問題，除了可以縮減學(xué)生解題的時間之外，還能夠培養(yǎng)起來學(xué)生的直觀想象力，進而提升大家運用圖形的能力.

例1 已知|a|=|b|=1,a·b=0,且|c-a-b|=1,那么|c|的最大值為____.

解析由于向量本身就是數(shù)形相互結(jié)合發(fā)展出來的，那么在解決這類問題的時候就需要將向量加減法的基本幾何意義把握住，然后再通過圖形，將向量幾何的直觀性完全呈現(xiàn)出來，以此來有效解決問題.

對于這一道例題來說，在解答的時候就可以依照這一思路進行.具體：

圖1

通過這一例題分析之后能夠讓學(xué)生對向量加法與減法存在的幾何意義有更深一步的理解，并且還可以讓大家能夠感受到通過對圖形的認識便能夠快速解決一些數(shù)學(xué)問題，進而有利于培養(yǎng)大家的直觀想象力，從而提升圖形運用的能力.

二、通過模型，培養(yǎng)空間思維

教師在教學(xué)的時候還需要重點引導(dǎo)大家通過構(gòu)造直觀模型解決一些數(shù)學(xué)問題，一般構(gòu)造的直觀模型主要包含有立體幾何、解析幾何以及平面幾何.在立體幾何當(dāng)中主要包含有四面體及長方體等等；在解析幾何模型之中主要是點與線之間的距離、點與點之間的距離、圓錐曲線、斜率等等；在平面幾何之中主要包含有三角形、圓等.這種直接將數(shù)學(xué)問題直觀化的模式能夠促進對問題的推理及把握，進而簡化數(shù)學(xué)問題.這也是目前培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)最有效的一項途徑.

比如，在高中數(shù)學(xué)教材當(dāng)中，立體幾何與幾何模型的制作有著極為密切的聯(lián)系，所以在教授這節(jié)內(nèi)容的時候就需要引導(dǎo)學(xué)生們加強對模型的觀察，并讓大家在制作模型的過程中加強對數(shù)學(xué)問題的思考.在解答立體幾何的過程中，可以將一些特殊模型運用進去，例如長方體或者正方體等，就可以讓大家直觀感受到這些模型之中點線面所存在的基本位置關(guān)系，從而就可以積累出來立體幾何的表象，提升對立體圖形的直觀感，最后養(yǎng)成空間思維的基本能力，這對于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象力同樣也具備一定的積極意義.

例2 (見2014年全國卷)如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( ).

圖2

通過對這一例題的基本解讀能夠發(fā)現(xiàn)，它主要是要求學(xué)生將三視圖還原成為一個幾何體，然后在其中找到最長的棱.這類題目在各大考試當(dāng)中非常常見，通常會對學(xué)生的想象力和空間思維能力提出較高的要求，因此大部分人都不會做.如果在教學(xué)的時候，將特殊模型運用進去，讓學(xué)生將模型的正、俯、側(cè)三個視圖分別當(dāng)作幾何體在模型之中里、底與右側(cè)三面的投影，就可以有效增強題目的直觀性，進而激發(fā)學(xué)生的空間想象力.以后學(xué)生在遇到類似題目無法有效還原的時候，還可以讓大家在特殊模型之中將幾何體的頂點確定出來，最終將幾何體還原出來.

就例2來講，就可以完全選擇一個棱長是4的正方體，從其俯視圖當(dāng)中就可以得知，其頂點是不會出現(xiàn)在A點和A1點的，也就是可以直接將這兩個頂點排除掉，借用相同的理由在正視圖當(dāng)中還能夠再將A點與D點排除掉；又在側(cè)視圖當(dāng)中將B點與B1點排除掉，那么剩下的三個頂點就會成為幾何體的頂點，接下來再依照正視圖就能夠?qū)⑷忮F的第四個頂點確定出來，即棱BB1的中點E.所以最后的幾何體就是E-CC1D1，最長的一條棱就是ED1,其長度為6.

在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象力的過程中，運用空間幾何體的三視圖可以起到事半功倍的效果，并且在特殊模型的作用下，還可以有效提升大家的直觀感受，并給想象力的發(fā)揮創(chuàng)設(shè)更廣闊的空間，進而整個解題過程變得更加迅速和便捷，最后提升學(xué)生的直觀想象力.

三、通過圖象特征理解，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中函數(shù)是非常關(guān)鍵的一項研究對象，其圖象基本的幾何特征可以將函數(shù)的基本性質(zhì)有效展現(xiàn)出來，另外借助于圖象還能夠迅速找到解決問題的方式.在培養(yǎng)直觀想象力的過程中直觀洞察力是非常顯著的一項特征，它的本質(zhì)就是人類在獲得既定情境圖象的基本信息之后，可以將這些信息和自己已經(jīng)具備的知識體系相互聯(lián)系起來，并從中將解決問題的能力篩選出來.所以能夠發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生將基本初等函數(shù)的基本圖象特點和一些較為常見的圖形變換掌握并完全理解，可以有效促進在解題方面的洞察力，最終提升直觀想象力，與此同時運用得當(dāng)還能夠反過來促使數(shù)形結(jié)合能力得以提升.

例3 若函數(shù)f(x)的定義域是R，其圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng)x>0時,f(x)=x3-2，那么函數(shù)f(x+2)全部的零點和是( ).

通過對上述例題的初步分析能夠發(fā)現(xiàn)，這重點是考察求函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，其中f(x)是奇函數(shù)，所以這就能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>0的話，那么其函數(shù)f(x)的解析式就能夠輕易得到，同理f(x+2)的解析式也能夠獲得，最后就可以將所有零點的和解出來.但是這道題目如果使用這種方式直接進行解答的話，那么整體計算量相對就會比較大，所以這就可以將其奇偶函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合進去，站在函數(shù)圖象變換的角度上來解答這一例題就能夠迅速得到答案.

解析由題目可以得知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)其x>0的時候，f(x)=x3-2.

通過圖象可以獲得(圖3)，f(x)存在一個大于0的零點，即x1(x1>0)；再從其奇函數(shù)的基本性質(zhì)能夠得到，f(x)存在一個小于0的零點，即x2(x2<0)，并且這兩個零點都是關(guān)于原點對稱的，再從其函數(shù)性質(zhì)能夠獲得f(0)=0，也就是其函數(shù)零點x3=0.

圖3 圖4

將其f(x)的圖象向左面平移兩個單位就可以獲得f(x+2)的圖象(圖4)，將其f(x)的零點向左面平移兩個單位可以獲得f(x+2)的零點，并且其零點x4與x5是關(guān)于(-2,0)對稱的，而x6=-2，所以最終就能夠獲得f(x+2)的全部零點和就是-6.

在解決上述的例題的時候，將學(xué)生比較熟悉的圖象平移變換以及對稱等相應(yīng)的知識內(nèi)容應(yīng)用進去，就可以及時獲得題目之中的一些特定信息，由此就可以再依照直觀洞察力直接獲得最終題目的答案.總結(jié)來說，圖象的基本特點和變換是培養(yǎng)直觀洞察力的重要基礎(chǔ)，教師在上課的時候除了要讓大家可以精準地觀察并繪制圖形之外，還要讓大家盡量掌握函數(shù)之中圖象的基本變換情況，這樣一來不但可以提升學(xué)生的直觀洞察能力，培養(yǎng)直觀想象力，還能夠反過來促進數(shù)形結(jié)合能力的提升.

總的來說，在教學(xué)的時候培養(yǎng)大家的直觀想象力其本質(zhì)就在于培養(yǎng)大家通過數(shù)學(xué)視角去觀察和理解世界，并通過相應(yīng)的方式，以圖形、模型和圖象為載體，促進學(xué)生運用圖形能力的提升，并進一步培養(yǎng)基本的空間想象力.這樣一來不但能夠直接簡化一些數(shù)學(xué)問題，還能夠促進大家創(chuàng)新思維的提升，進而發(fā)展起來基本的直觀核心素養(yǎng).