基于分析力學測量復擺作用下的重力加速度

李大正 李體俊 蔡魯剛

(山東省菏澤市菏澤學院物理與電子工程學院 274015)

重力加速度是一個非常重要的物理常數且有普遍的應用，其數值的準確測量也是大學物理中一個非常重要的實驗.傳統的測量方法有單擺法、自由落體法，但這些測量方法在實驗過程中常受到空氣阻力等因素的干擾，導致實驗值和理論值之間存在一定誤差.如何減小這種誤差就成為實驗測量中一項重要的工作.本文以復擺為研究對象并采用分析力學導出了復擺擺動周期、擺角與重力加速度之間的關系，通過實驗測量獲得相關物理數據并借助MATLAB程序對數據進行處理，獲得了與理論相符合的重力加速度.

一、復擺重力加速度的推導

圖1

復擺的結構模型如圖1所示，其中O點為懸掛點，以O為中心建立如圖所示坐標軸，OZ軸垂直紙面向里.質心的重力為mg，其距懸掛軸的距離為rC(圖中未標出)，θ為擺角且θ<5°.

取q=θ作為廣義坐標，OX軸作為零勢能面，則質心處的重力勢能為V=-mgrCcosθ(1)

令回旋半徑為k，取轉動慣量I=mk2(3)

將(1)(4)合并，可得拉格朗日函數為

其中qa=θ，對(5)(6)整理得：

利用平行軸定理可知復擺相對于O點的轉動慣量為

此為一般情形下，即θ<5°時的復擺周期公式，參考單擺實驗中對較大擺角的修正情況，這里也可以對θ<5°的復擺擺角進行修正，修正后的復擺周期公式即為

測出n組(x,y)的值，利用計算機作圖求出直線的斜率A和截距AB，進而就可以求出重力加速度g和回旋半徑kc.

二、實驗測量及數據處理

實驗過程中通過改變懸掛點位置，即改變復擺質心到懸掛點的距離共測量九組數據，啟動復擺測30個周期的時間，擺角控制在(θ<5°)范圍內，實驗測量數據如表1所示.

表1 不同高度下各物理量的數值

其中，h是懸掛點高度(單位：cm)，T是周期(單位：s)

實驗測量數據及通過MATLAB擬合處理結果如圖2所示：

圖2

由此可確定重力加速度數值為g=9.772m/s2.

三、總結

本文通過分析力學導出了復擺擺動周期、擺角與重力加速度的關系，通過實驗測量獲得了相關數據，并借助MATLAB軟件對實驗數據進行了分析和處理，結果表明所得重力加速度與理論值之間的誤差在允許范圍之內.