借一道高考題談核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算

關(guān)燕曼

◆關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；核心素養(yǎng)

像數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)據(jù)分析，邏輯推理，書寫抽象，和數(shù)學(xué)計(jì)算，這些都是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這6項(xiàng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不但互相獨(dú)立，而且又融會貫通，將相互聯(lián)系的個部分連接成一個整體。我們從16年的江蘇高考數(shù)學(xué)試題中的第十四個問題為依據(jù)，來做出分析。

一、高考原題（改為2019年全國1卷）

2019年全國數(shù)學(xué)高考一卷的原題第五題：函數(shù)[x=sinx+xcosx+x2]在[[-π]，[π]]的圖像大致為 。

二、知識點(diǎn)構(gòu)成及題目來源

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.根據(jù)解題思路判斷此函數(shù)是奇偶性，[-x=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-（x）]，得其為奇函數(shù)，以此類推運(yùn)算推斷出此題的函數(shù)象限圖。

三、考查意圖

這個題，主要考查的就是三角形中的關(guān)于弦切互化、兩角和與兩角查，以及正切，余弦和正弦之間變換的知識。因?yàn)槿切稳齻€內(nèi)角分別為銳角而且三個角內(nèi)角的總和是180°的這兩個條件，以及在一般在函數(shù)問題中普遍用求導(dǎo)的或換元的方式來求最值。

本題對于主要考察化歸思想和函數(shù)思想，有些地方還考察數(shù)形結(jié)合思想。在考驗(yàn)這些解題思想的同時還需要學(xué)生的具有一定的運(yùn)算能力，這也是該題目考察的一個重點(diǎn)，學(xué)生在解題時如果可以將考查的思想基本分為化歸思想、函數(shù)思想這兩個方面。有些方方面我們可以理解為對數(shù)形結(jié)合思想的考查。對上面所述方法的應(yīng)用和能力考查只是一方面，作者認(rèn)為對學(xué)生的運(yùn)算能力的考查，也是本次的重要標(biāo)準(zhǔn)。假如對復(fù)合函數(shù)運(yùn)算的問題，在解決過程中多動腦，對整體代換（或者稱之為換元法）的問題解決有個重要的認(rèn)知，從而對以上方法的使用更有效，方便快捷。

四、解題方式

隨著6月8號的一聲“考試結(jié)束”，一年一度的高考就算結(jié)束了，作者便約了幾個同事對此題進(jìn)行探討，分析出了幾種解題方法，大致的思路都是一樣的，首先使用三角變換，接著根據(jù)每個題目的特點(diǎn)進(jìn)行專門的解決。因此，對三角變換的解析如下：若sinA=2sinBsinC，在銳角三角形ABC中，A=π-（B+C），所以sin[π-（B+C）]=2sinBsinC，即sin（B+C）=2sinBsinC，又sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，得tanB+tanC=2tanBtanC。而在銳角三角形ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

思路一：

構(gòu)造基本不等式，解決問題。tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。又tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2tanA·2tanBtanC，當(dāng)且僅當(dāng)tanA=2tanBtanC時取等號，即得到tanAtanBtanC≥2tanA·2tanBtanC，解不等式得到tanAtanBtanC≥8，所以最小值為8。

思路二：

換元法與整體代換解決問題。tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，tanB+tanC=2tanBtanC，所以tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC-1，tanBtanC=2tan2Btan2CtanBtanC-1，令tanBtanC=x（x>1），于是有g(shù)（x）=2x2x-1，再往下的步驟又分幾種解法：

（1）基本不等式法：x-1=t（t>0），變形成基本不等式形式求解，具體解法略。

（2）求導(dǎo)法：對函數(shù)g（x）=2x2x-1求導(dǎo)、列表、求最值，具體解法略。

（3）二次型函數(shù)法：將分子x除到分母，用整體代換（或者換元法）求二次函數(shù)的最值，即g（x）=2x2x-1=21x-1x2，具體解法略。當(dāng)然，思路二的重點(diǎn)在于進(jìn)行換元求解，然后可使思路清晰，方法恰當(dāng)。

思路三：

消元法解決問題。tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1，tanB+tanC=2tanBtanC，解出tanC=tanB2tanB-1tanB>12。令tanB=xx>12，則tanAtanBtanC=2x4（x-1）（22x-1），再往后的步驟同思路二中的幾種方法，具體解法略。

思路四：

數(shù)形結(jié)合解決問題。思路二中，將g（x）=2x2-x-1看成是兩點(diǎn)P（1，0）與Q（x，x2）連線斜率的兩倍，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)P向拋物線y=x2引切線，求切線的斜率，具體解法略。

五、核心素養(yǎng)在本題中的體現(xiàn)

此題的核心，不僅是在邏輯推理，對于運(yùn)算能力的考查也很重要。由于此題的難度性極大，對學(xué)生的運(yùn)算能力是一種考驗(yàn)。可是在日常中采用的基本是題海戰(zhàn)術(shù)，一味的刷題只是追求一個量，卻忽視質(zhì)的問題，一般在題海戰(zhàn)術(shù)中，遇見此類題型直接略過，對學(xué)生的運(yùn)算能力是得不到提高的。所以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，腳踏實(shí)地的認(rèn)真對待，掌握運(yùn)算技巧和知識點(diǎn)，才能夠更加精準(zhǔn)的解決問題。深入問題當(dāng)中的特殊方法，在結(jié)合嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓g(shù)語表述，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。數(shù)學(xué)是一個兩面性的，一是在其中形成這些能力；二是在教學(xué)過程中培養(yǎng)這些技能。在數(shù)學(xué)教育板塊中，中心思想分為三點(diǎn)：學(xué)會用數(shù)學(xué)思維分析世界；學(xué)會用數(shù)學(xué)眼觀觀察世界；學(xué)會用數(shù)學(xué)術(shù)語表達(dá)世界。邏輯推理、公式運(yùn)算這就屬于數(shù)學(xué)的思維模式。特點(diǎn)是嚴(yán)謹(jǐn)性，其要求也不只是加減乘除那么簡單。數(shù)學(xué)在生活中，通過實(shí)踐研究，在問題的解決上達(dá)到高效、準(zhǔn)確、無誤，是解決問題最有效、最快捷的方法。

六、對教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的反思

數(shù)學(xué)計(jì)算是在知悉運(yùn)算法則，然后了解運(yùn)算對象的前提下來計(jì)算處理數(shù)學(xué)問題的一個歷程。數(shù)學(xué)運(yùn)算的主要內(nèi)容就是，首先來理解運(yùn)算對象，然后知悉運(yùn)算法則，然后來研究數(shù)學(xué)的運(yùn)算方向，然后選中正確的運(yùn)算方法，頭腦中預(yù)算設(shè)置當(dāng)中的運(yùn)算順序，然后最終求得計(jì)算結(jié)果。所以數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種運(yùn)算推理，更是解決一般數(shù)學(xué)問題的一種普遍方式，更是所有計(jì)算機(jī)處理問題的基本方法。

對于現(xiàn)在的數(shù)學(xué)當(dāng)中所產(chǎn)生的問題，我們要在運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)問題時立即去解決問題。數(shù)學(xué)是一個邏輯性的學(xué)科，就是一個對數(shù)字的概念，在許多的運(yùn)算公式進(jìn)行演繹和推理。然后再得到一個運(yùn)算法則，對其進(jìn)行論證以及試用。要不是規(guī)于書寫格式的要求，用“三段論”的形式表達(dá)最為明顯。由于數(shù)學(xué)的多樣性，一道問題的解析有很多種，所以課堂上老師往往要通過多個角度去講解數(shù)學(xué)知識。其根本作用就是通過多樣式的教學(xué)，提高教學(xué)質(zhì)量。

七、推廣的意義——舉一反三能力的提高

在提升所有學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能方面，其中訓(xùn)練其聞一知十的能力是非常有效且非常關(guān)鍵。而這種聞一知十的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，不僅是身為教師在課堂教學(xué)方面，進(jìn)行變形讓學(xué)生多加在課堂中學(xué)習(xí)外，平時學(xué)生自己的多加訓(xùn)練，更重要的需要學(xué)生自己能夠?qū)Υ擞信d趣來對問題的變化來積極的參加、參與。這樣子才會讓他有效的學(xué)會此項(xiàng)技能。而且最重要的就是要在數(shù)學(xué)變式的歷程中知道幾個必須依照幾個重要的原則。第一個，就是必須遵循教學(xué)應(yīng)用的合理性，以及相似性、漸進(jìn)性和變異性。