中考電學最大值問題判別式解法探究

于志洪

(江蘇省泰州市森南新村15棟103室 225300)

最值問題是近幾年來各類中考中的常見題型，涉及知識面廣、隱含變量多、解法靈活多變、技巧性高、靈活性強，蘊含著豐富的數理思想方法，對提高學生的數理思維能力有很大的促進作用.初中電學中，有些關于求最值的習題，同學們對這類問題的解法有一定的困難，常感到無從下手，下面就以部分中考題為例，談談如何巧用一元二次方程根的判別式來解電學中的最值問題，供初中物理教師和學生教學時參考.

例1 如圖1中，滑動變阻器的最大阻值20Ω，燈絲的電阻為10Ω，電源電壓為4V.當滑動變阻器的滑片P移動過程中會使滑動變阻器消耗的電功率最大，這個最大值多大？此時滑動變阻器連入電路的阻值多大？(設電源電壓和燈絲阻值均不變)(2013安順市)

分析此題是電學中的動態電路題，難點是不好確定滑片P位于何處時滑動變阻器消耗電功率最大.因此采用物理方法較難，而采用一元二次方程根的判別式來解就變得簡便快捷，通暢易理解.

解設滑動變阻器消耗的電功率為P，則有P=I2R=[U/(RL+R)]2R即P=[4/(10+R)]2R=16R/(10+R)2，展開并整理得：PR2+(20P-16)R+100P=0(1)由于為電阻值必為正值，所以Δ=b2-4ac=(20P-16)2-400P2≥0 所以，P≤0.4W，可見，滑動變阻器消耗的電功率最大值P最大為0.4W.代入(1)式得：R=10Ω.

例2 某同學在做“測定小燈泡電功率”的實驗(如圖2所示)中，所用燈泡電阻R0為10歐，滑動變阻器的阻值范圍為0～20歐，電源電壓為4伏(電源電壓和燈絲電阻不變)，在移動滑片P的過程中，會使滑動變阻器消耗的電功率最大，這個最大值PM多大？(2012六安市)

分析設電源電壓為U，滑動變阻器兩端的電壓為U1，則電路中的電流I=(U-U1)/R0滑動變阻器消耗的功率P=U1I=U1(U-U1)/R0.在上式中U1和(U-U1)均為變量，要計算P的最大值可用一元二次方程根的判別式對此題作出解答.

例3 如圖3所示，電源電壓為3V，供電電路的電阻為0.2Ω，試求：電燈泡的最大電功率.(2012東營市)

下面用判別式Δ=b2-4ac≥0來求出極值.

例4 某同學做“測定小燈泡功率”的試驗中(如圖4所示)，所用燈泡的電阻RL=10Ω,滑動變阻器R1的阻值范圍為0～20Ω，電源電壓U=4V(電源電壓和燈絲電阻均不變).在移動滑片P的過程中會使滑動變阻器消耗的電功率最大，這個最大值PM多大？此時滑動變阻器連入電路的阻值多大？(2013吉安市)

例5 如圖5，電源電壓為U，電阻R0與變阻器R串聯且R0

例6 如圖6，滑動變阻器的最大阻值為60歐，問：當滑片P處于什么位置時，a、b間的電阻最大？最大值是多少？(2011錦州市)

分析從圖6可知，a、b間的電阻相當于一個定值電阻分成兩部分后再并聯.

例7 如圖7中，ABCD是用粗細均勻的電阻絲燒成的圓環，其總電阻為100Ω.用導線在A點固定相連，B為一滑動鍵.求當滑動到何處時電路中的電阻值最大？這個最大值為多少歐？(2010吉林市)

解設電阻RACB與RADB并聯后的總電阻為R并，則有：1/R并=1/RACB+1/RADB即R并=RACB×RADB/RACB+RADB，RACB+RADB=100Ω，由于R并=RACB(100-RACB)/100，整理得：R2ACB-100RACB+100R并=0.因為RACB>0，所以Δ=1002-400R并≥0，解得R并≤25，即R并的最大值為25Ω.

例8 如圖8所示，R1=6歐，R2=12歐，電源電壓U=6伏始終不變，求R2消耗的最大功率.(2010大理市)

綜上所述可知：物理與數學具有十分密切的關系，物理學是應用數學最多也是最成功的一門科學，因此在解決物理問題時，充分利用數學規律與原理會使物理問題的解決更為簡化.注意數學物理知識的滲透融匯研究，符合新課程改革的理念要求，對于啟迪學生思維，開闊視野，鞏固“雙基”，提高綜合解題水平大有益處.為此筆者建議：在平時教學過程中，有目的地引導學生對一些聯系課本內容的知識進行專題研究是十分必要的.