拿破侖三角形改斜歸正傳奇

李垂勝 鄒興平

(湖北省恩施市龍鳳鎮(zhèn)民族初級(jí)中學(xué) 445003)

一、拿破侖定理

拿破侖定理在城市建設(shè)規(guī)劃中確定新發(fā)展中心區(qū)中心位置時(shí)，利用拿破侖定理可在老市區(qū)為任意形狀時(shí)科學(xué)地確定新的發(fā)展中心區(qū)的位置，該方法可合理組織人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率達(dá)到最佳.因而在城市建設(shè)規(guī)劃中具有很好的應(yīng)用價(jià)值.

法蘭西第一帝國皇帝拿破侖為人頗為好學(xué)，自幼喜愛數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)方面很感興趣，早年畢業(yè)于炮兵學(xué)校，期間在學(xué)習(xí)射擊、測量技術(shù)中對幾何三角有特別愛好和研究，他在行軍打仗的空閑時(shí)間，經(jīng)常研究平面幾何.他也是法蘭西科學(xué)院院士，他對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家懷有特別的敬意，并且欣賞他自己提出的問題.拿破侖發(fā)現(xiàn)：“在三角形外側(cè)以各邊為一邊作的三個(gè)正三角形的外心是一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).在斜三角形內(nèi)側(cè)以各邊為一邊作的三個(gè)正三角形的外心是一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).”因?yàn)槭悄闷苼霭l(fā)明，所以稱拿破侖定理(法語：Napoléon Bonaparte).

二、證明方法

證法一：如圖1，以任意三角形ABC的三邊AB，BC，AC為邊分別作三個(gè)正三角形ABG，BCH，ACO，它們的內(nèi)心分別為F，D，E，要證明DEF是正三角形，只需證明它的三個(gè)角都是60°.

連接AF，BF，BD，CD，CE，AE，將△BDF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△FAM，連接EM.

∵∠DCE=∠DCB+∠BCA+∠ACE=60°+∠BCA，∠EAM=360°-(∠FAM+∠FAE)=360°-(∠FBD+∠FAE)=360°-(∠CBD+∠CBA+∠ABF+∠BAF+∠BAC+∠CAE)=360°-(120°+∠ABC+∠BAC)=240°-(∠ABC+∠BAC)=60°+180°-(∠BAC+∠ABC)=60°+∠BCA.

∴∠DCE=∠EAM，∴△DCE≌△MAE(SAS)，∴EM=DE，∴△EFM≌△EFD(SSS)，∴∠EFM=∠EFD，∴∠DFM=2∠DFE.又∵∠DFM=∠DFA+∠AFM=∠DFA+∠BFD=∠AFB=120°，∴∠DFE=60°.

圖1

同理可證，∠DEF=∠FDE=∠DFE=60°，故△DEF是正三角形.

同學(xué)們學(xué)了軸對稱和相似知識(shí)后，就可以用以下方法來證明.

圖2

證法二：如圖2，以任意三角形ABC的三邊AB，BC，AC為邊分別作三個(gè)正三角形ABG，BCH，ACO，它們的內(nèi)心分別為F，D，E，連接AF、BF、BD、CD、CE、AE.要證明DEF是正三角形，只需證明它的三個(gè)角都是60°.

因△ACO是正三角形，則∠AEC為120°.同理可證，另外兩個(gè)角∠AFB和∠BDC也都是120°，于是，在六邊形AFBDCE中，剩下的三個(gè)角的和是360°，所以，這三個(gè)三角形△AEF，△BDF，△DCE就能拼湊為一個(gè)與△DEF全等的三角形.

圖3

如何拼湊請看下一步，如圖3，可以想象把三角形像折紙一樣向三角形△DEF內(nèi)部翻折，把它們拼湊在一起.

于是∠AEF+∠CED=∠DEF，而∠AEC=∠AEF+∠CED+∠DEF=2∠DEF=120°,所以得出∠DEF=60°.同理，∠EFD=∠EDF=60°.故△DEF是正三角形.

圖4

圖5

同學(xué)們學(xué)了圓的知識(shí)后，就可以用證法三來證明.

證法三：如圖5，在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△ACD，等邊△BCE.設(shè)等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交于O,連AO、CO、BO.則∠AFB=∠ADC=60°.

∵A、F、B、O四點(diǎn)共圓,A、D、C、O四點(diǎn)共圓,∴∠AOB=∠AOC=120°.而周角等于360°,∴ ∠BOC=120°,∵ △BCE是等邊三角形，∴ ∠BEC=60°,∴B、E、C、O四點(diǎn)共圓,∴ 這3個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)O.∵A、F、B、O四點(diǎn)共圓，A、D、C、O四點(diǎn)共圓，B、E、C、O四點(diǎn)共圓，∠AFB=∠ADC=∠BEC=60°，∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.∵NP、MP、MN是連心線，BO、CO、AO是公共弦，∴BO⊥NP于X，CO⊥MP于Y，AO⊥NM于Z.∴X、P、Y、O四點(diǎn)共圓,Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓,Z、N、X、O四點(diǎn)共圓,∴ ∠N=∠M=∠P=60°,即△MNP是等邊三角形.

這一定理可以等價(jià)描述為：

若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，則它們的外心是一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).

若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形，則它們的頂點(diǎn)連線構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.

同學(xué)們學(xué)了余弦定理和三角函數(shù)的知識(shí)后，就可以證明：在三角形內(nèi)側(cè)以各邊為一邊的三個(gè)正三角形的外心是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

圖6

同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題時(shí)，要學(xué)會(huì)從多角度思考，采用多種方法，一題多解，也要學(xué)會(huì)對知識(shí)進(jìn)行拓展引申，與生活生產(chǎn)實(shí)際向聯(lián)系，學(xué)以致用，解決社會(huì)實(shí)際問題，為人類造福.