一道高考題的解法探究

張 梅

(四川省成都市四川師范大學數學科學學院 610000)

普通高中數學課程標準(2017年版)提出高中數學階段的數學教育培養目標是：會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，從而提出了六大核心素養.高考題是以課程標準為依據，以選拔學生為目的而命制.解析幾何是用代數方法研究解決幾何問題的一門數學學科，滲透了一種重要的數學思想—數形結合思想，同時也是高考的熱點之一.本文結合2018年高考數學全國卷Ⅲ文科第22題進行多重解法剖析.

一、試題呈現和分析

(1)求α的取值范圍;

(2)求AB中點P的軌跡的參數方程.

立意分析本題以直線和圓這兩種基本幾何圖形為載體.融合了斜率、傾斜角、直線與圓的位置關系、圓的參數、點的軌跡等知識點，同時有三角、二次函數等知識的交匯命題.注重考查學生的轉化思想、數形結合思想、構造思想，分類討論思想.同時考察了學生的發現問題，多角度解決問題的能力.

二、解法探索和分析

數學解題是學生學習數學的主要部分.數學解題練習的最終目的是為了培養數學思維通過對解法多角度的探索，積極引導學生的數學思維的碰撞.

第一個小問的解法探究：

解法1圓的普通方程為x2+y2=1.

圓的普通方程為x2+y2=1②.

解法分析解法1的思路是利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的大小關系來計算直線與圓的位置關系，特別需要注意直線的斜率不存在的情況.

解法2的思路是聯立直線的參數方程和圓的方程，同時避免了討論直線斜率不存在的情況，靈活運用圓系方程解題，可以使計算量大大的減少.

解法3的思路利用數形結合思想，用代數的語言描述幾何要素及其關系，構造兩個直角三角形△OQM、△OQN，利用正弦求傾斜角，此法步驟簡單.

第二個小問解法探究

圓的普通方程為x2+y2=1②.

(3)采用耐磨損、抗靜電能力強的高分子塑料材料為基料加工的斜板，具有表面光滑疏水、抗靜電、耐磨損的特殊效果，細泥物料不易在斜板板面粘結和堆積。

又∵tA、tB滿足圓系方程②

∵有兩個交點,∴Δ=4k2-4>0,∴k<-1或k>1.

解法4如圖2所示，設P(x,y),