一道高三?？碱}的秒殺與啟示

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

一、試題與原參考解答

試題在銳角△ABC中，BC=2，sinB+sinC=2sinA，則BC邊上的中線AD的長(zhǎng)的取值范圍是____.

這是安徽省合肥市2019年高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷中的第15題，難度不大.先看命題者提供的解答.

解由sinB+sinC=2sinA，及正弦定理，得b+c=2a=4，所以c=4-b.在△ACD和△ABD中，由余弦定理，得

反思這種解法思路流暢，是通法，解法很樸素，但計(jì)算量較大，學(xué)生難以算對(duì).

此題有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的解法？

二、試題的秒殺

解析因?yàn)閟inB+sinC=2sinA，所以由正弦定理，得AC+AB=2BC.

三、啟示

此題之所以可以秒殺，就是運(yùn)用了軌跡法.什么叫軌跡法？

先研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再利用軌跡的幾何性質(zhì)解題，這種解題方法通常稱為軌跡法.在解三角形的有關(guān)問(wèn)題中，我們可以根據(jù)邊或角的某種定量關(guān)系，探索出三角形的某個(gè)頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，用“形”的觀點(diǎn)去解決所要研究的問(wèn)題.這種數(shù)形結(jié)合的解題方法，使問(wèn)題的求解更加直觀形象，學(xué)生更容易理解接受.下面分兩類例析用軌跡法求解三角形中的最值(取值范圍)問(wèn)題.

1.頂點(diǎn)的軌跡為圓或圓弧

解析由題設(shè)等式及正弦定理，得a2+b2-c2=ab，故

評(píng)注本題也可設(shè)角A為x，利用正、余弦定理將CD長(zhǎng)表示為x的函數(shù)，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求得CD長(zhǎng)的最小值，但運(yùn)算量較大，而軌跡法則大大減少了運(yùn)算量.一般地，在同一平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的張角度數(shù)為定值的點(diǎn)的軌跡是以兩定點(diǎn)連線為公共弦、定角為圓周角的兩段圓弧.

解析因?yàn)辄c(diǎn)D是動(dòng)點(diǎn)，所以要關(guān)心的問(wèn)題是，動(dòng)點(diǎn)D在什么樣的曲線上或在何區(qū)域上運(yùn)動(dòng).因?yàn)椤螦DB是定值120°，所以想到圓，在同圓或等圓中，同弦或等弦(同弧或等弧)所對(duì)的圓周角相等，從而動(dòng)點(diǎn)D在圓弧上運(yùn)動(dòng).

記半徑為2的△ABD的外接圓的圓心在邊AB左邊，右邊的分別為O1，O2，如圖3.

評(píng)注此題用常規(guī)方法求解運(yùn)算量較大，甚至很難求解.

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段CD所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4.

以坐標(biāo)原點(diǎn)C為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，如圖4.

動(dòng)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)方程為(x+3)2+y2=1，化為極坐標(biāo)方程為6ρcosθ+ρ2+8=0.

評(píng)注(1)在這里，可以直接求出動(dòng)點(diǎn)A的極坐標(biāo)方程.(2)在這里，若用代換法求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程，運(yùn)算量非常大，幾乎解不出來(lái).用代換法，筆者沒(méi)有求出動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程.在此，借助貴刊，懇請(qǐng)同仁幫助指教.

2.頂點(diǎn)的軌跡為橢圓或橢圓的一部分

例4已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，b+c=8，且S=a2-(b-c)2，求△ABC面積的最大值.

例5 如圖6，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D.設(shè)CP=x，△CPD的面積為f(x)，則f(x)的最大值為_(kāi)___.

評(píng)注在△ABC中，若AB+AC為定值，則點(diǎn)A的軌跡是以點(diǎn)B，C為焦點(diǎn)的橢圓(除去與直線BC的交點(diǎn))，這時(shí)△ABC就成了橢圓中的焦點(diǎn)三角形.

當(dāng)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在一定條件下運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡是對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)果的一種深刻理解.求解此類問(wèn)題時(shí)，首先要明確三角形動(dòng)頂點(diǎn)的軌跡，再利用軌跡的幾何性質(zhì)求最值.要做到有軌可依、有跡可循，以起到另辟蹊徑、簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.這種方法很能培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.