一道高三?？碱}的秒殺與啟示

武增明

(云南省玉溪第一中學 653100)

一、試題與原參考解答

試題在銳角△ABC中，BC=2，sinB+sinC=2sinA，則BC邊上的中線AD的長的取值范圍是____.

這是安徽省合肥市2019年高三第一次教學質量檢測理科數學試卷中的第15題，難度不大.先看命題者提供的解答.

解由sinB+sinC=2sinA，及正弦定理，得b+c=2a=4，所以c=4-b.在△ACD和△ABD中，由余弦定理，得

反思這種解法思路流暢，是通法，解法很樸素，但計算量較大，學生難以算對.

此題有沒有更簡便的解法？

二、試題的秒殺

解析因為sinB+sinC=2sinA，所以由正弦定理，得AC+AB=2BC.

三、啟示

此題之所以可以秒殺，就是運用了軌跡法.什么叫軌跡法？

先研究動點的軌跡，再利用軌跡的幾何性質解題，這種解題方法通常稱為軌跡法.在解三角形的有關問題中，我們可以根據邊或角的某種定量關系，探索出三角形的某個頂點運動的軌跡，用“形”的觀點去解決所要研究的問題.這種數形結合的解題方法，使問題的求解更加直觀形象，學生更容易理解接受.下面分兩類例析用軌跡法求解三角形中的最值(取值范圍)問題.

1.頂點的軌跡為圓或圓弧

解析由題設等式及正弦定理，得a2+b2-c2=ab，故

評注本題也可設角A為x，利用正、余弦定理將CD長表示為x的函數，再利用三角函數的相關知識求得CD長的最小值，但運算量較大，而軌跡法則大大減少了運算量.一般地，在同一平面內，動點到兩定點的張角度數為定值的點的軌跡是以兩定點連線為公共弦、定角為圓周角的兩段圓弧.

解析因為點D是動點，所以要關心的問題是，動點D在什么樣的曲線上或在何區(qū)域上運動.因為∠ADB是定值120°，所以想到圓，在同圓或等圓中，同弦或等弦(同弧或等弧)所對的圓周角相等，從而動點D在圓弧上運動.

記半徑為2的△ABD的外接圓的圓心在邊AB左邊，右邊的分別為O1，O2，如圖3.

評注此題用常規(guī)方法求解運算量較大，甚至很難求解.

以點C為坐標原點，線段CD所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖4.

以坐標原點C為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，如圖4.

動點A的直角坐標方程為(x+3)2+y2=1，化為極坐標方程為6ρcosθ+ρ2+8=0.

評注(1)在這里，可以直接求出動點A的極坐標方程.(2)在這里，若用代換法求動點B的軌跡方程，運算量非常大，幾乎解不出來.用代換法，筆者沒有求出動點B的軌跡方程.在此，借助貴刊，懇請同仁幫助指教.

2.頂點的軌跡為橢圓或橢圓的一部分

例4已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，b+c=8，且S=a2-(b-c)2，求△ABC面積的最大值.

例5 如圖6，線段AB=8，點C在線段AB上，且AC=2，P為線段BC上一動點，點A繞點C旋轉后與點B繞點P旋轉后重合于點D.設CP=x，△CPD的面積為f(x)，則f(x)的最大值為____.

評注在△ABC中，若AB+AC為定值，則點A的軌跡是以點B，C為焦點的橢圓(除去與直線BC的交點)，這時△ABC就成了橢圓中的焦點三角形.

當三角形的一個頂點在一定條件下運動變化時，研究動點的軌跡是對動點運動結果的一種深刻理解.求解此類問題時，首先要明確三角形動頂點的軌跡，再利用軌跡的幾何性質求最值.要做到有軌可依、有跡可循，以起到另辟蹊徑、簡化運算的作用.這種方法很能培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性，提高學生的學習能力.