小考題 大文章
——對(duì)一道高考試題的深度思考

駱秀金

(湖南省懷化市第三中學(xué) 418000)

高考試題情境新穎，構(gòu)思精巧，設(shè)問別致，這其中包含了命題者的大量心血與智慧.但命題者的研究設(shè)計(jì)的路徑卻隱藏于題外，若解后不反思，則很難捕捉高考命題的基本走向，不易發(fā)掘試題考查的深度與廣度．認(rèn)真研讀2017年浙江高考試題，好題很多．其中筆者尤感興趣的是填空題第15題，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐與體會(huì)，以此題為例，談?wù)劯呖紨?shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，對(duì)高考試題研究的幾個(gè)思考角度．

一、考題呈現(xiàn)，思立意

(2017年高考數(shù)學(xué)浙江卷第15題)設(shè)向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.則|a+b|+|a-b|的最小值是____,最大值是____.

命題立意:本題以平面向量在三角形與平行四邊形中的應(yīng)用為載體，考查平面向量的內(nèi)容，包括平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積及其幾何意義，三角不等式及基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí).

本題考查學(xué)生上述基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，以及對(duì)試題提供的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化、重組的能力;也體現(xiàn)了向量在三角形、平行四邊形中的幾何應(yīng)用，向量的代數(shù)形式運(yùn)算與幾何形式運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化的重要性，以及化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

二、分析思路，思解法

高考試題的顯著特點(diǎn)是入口寬，解法多，深入難，能區(qū)分不同知識(shí)水平考生的思維層次．在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，要真正發(fā)揮高考試題的基礎(chǔ)性、典型性和示范性，需從不同角度對(duì)問題進(jìn)行探究分析，以期獲得不同解法的啟迪．

解法一考題涉及到兩個(gè)向量的模之和，很自然聯(lián)想到向量模的運(yùn)算性質(zhì)，即向量三角不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

從而有|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=|2b|=4.

當(dāng)且僅當(dāng)a+b與a-b反向時(shí)取”=”號(hào)．即a與b共線時(shí)取”=”號(hào)．所以|a+b|+|a-b|的最小值是4.

解法二運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)，向量數(shù)量積性質(zhì)及基本不等式求解．

(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b||a-b|=2(|a|2+|b|2)+2|a+b||a-b|=10+2|a+b||a-b|.一方面，由向量數(shù)量積性質(zhì)得|a+b||a-b|≥|(a+b)·(a-b)|=|a2-b2|=3，當(dāng)且僅當(dāng)(a+b)∥(a-b)時(shí)取”=”號(hào)；

即16≤(|a+b|+|a-b|)2≤20.

解法三采用坐標(biāo)運(yùn)算．不妨假設(shè)a與x軸平行，不影響解題．

設(shè)a=(1,0),b=(2cosα,2sinα),α∈[0,2π].

解法四設(shè)a=(1,0),b=(2cosα,2sinα),α∈[0,2π].由解法三得

求最小值同解法三．可用柯西不等式求最大值．

∵(|a+b|+|a-b|)2

三、回歸教材，思源頭

人教版《數(shù)學(xué)》(必修4)教材第82頁(yè)：

探究:a,b處于什么位置時(shí),(1)|a+b|=|a|+|b|.(2)|a+b|=|a|-|b|.

分析(1)當(dāng)a與b同向時(shí)|a+b|=|a|+|b|. (2)當(dāng)a與b反向，且|a|>|b|時(shí)，|a+b|=|a|-|b|.綜合(1)(2)得到下列不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.這為解法一提供了依據(jù)．

人教版《數(shù)學(xué)》(必修4)教材第109頁(yè)：

①

②

這一結(jié)論為解法二提供了依據(jù)．

四、研究試題，思變式

變式就是把試題進(jìn)行重組、嫁接、引申、拓展．G.波利亞說過:“好問題同種蘑菇類似,它們都成堆生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個(gè).”一般來說,高考試題是金典問題,很有代表性.我們有必要認(rèn)真研究,充分發(fā)掘它的應(yīng)用價(jià)值,對(duì)它進(jìn)行變式、引申、拓展．

變式1:設(shè)向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.求|a+b|-|a-b|的最大值與|a+b||a-b|的最小值.

設(shè)計(jì)意圖:原高考題考查的是以向量a,b為鄰邊作平行四邊形,求兩對(duì)角線長(zhǎng)的和的最值問題,我們會(huì)自然想到,如何求這兩對(duì)角線長(zhǎng)的差與積的最值呢?因此可設(shè)計(jì)此題.

變式2:設(shè)向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.且a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,求|c|的最大值與最小值.

設(shè)計(jì)意圖:原高考題已知條件中兩向量的模為定值,但兩向量的夾角是變化的,我們可以考慮兩向量垂直這一特殊情況,引入向量c滿足條件|c-a-b|=1.可設(shè)a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y).運(yùn)用圖形法求解.此變式與2013年湖南高考理科數(shù)學(xué)試題第6題很相似.

變式3:設(shè)向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ).當(dāng)|a+b|取最大值時(shí)求cos2(α-β)的值.

設(shè)計(jì)意圖:把原高考題的已知條件坐標(biāo)化，并用三角函數(shù)的形式呈現(xiàn)，這樣不僅考查向量的模的計(jì)算，又考查三角恒等變換等知識(shí).

五、總結(jié)反思，思導(dǎo)向

這幾年浙江省向量考題都編制得十分精致，非常漂亮，其一是它的解題方法很多，很好地考查了不同層次的學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度;其二是向量本身具有雙重性，兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，因此，在解決向量問題時(shí)，一方面，我們可以根據(jù)向量的有關(guān)公式、運(yùn)算律解決;另一方面,也可以結(jié)合向量的幾何意義畫圖解決.

一道好題并不在于它的深?yuàn)W，而在于它的導(dǎo)向和示范作用，好的高考試題往往不一定都是新題，它往往就來源于教材，既能引導(dǎo)師生重視教材作用和對(duì)基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，又能讓師生意識(shí)到僅僅靠題海戰(zhàn)術(shù)和死記硬背是無(wú)法在高考中取得高分.”新高考”模式下的數(shù)學(xué)試題更加注重問題的本質(zhì)和思維的創(chuàng)新,不能靠機(jī)械性、模式化的應(yīng)試訓(xùn)練來解決，而是要具備扎實(shí)的基本功和必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能使解題更有深度、厚度和廣度.