小考題 大文章
——對一道高考試題的深度思考

駱秀金

(湖南省懷化市第三中學 418000)

高考試題情境新穎，構思精巧，設問別致，這其中包含了命題者的大量心血與智慧.但命題者的研究設計的路徑卻隱藏于題外，若解后不反思，則很難捕捉高考命題的基本走向，不易發掘試題考查的深度與廣度．認真研讀2017年浙江高考試題，好題很多．其中筆者尤感興趣的是填空題第15題，結合自己的教學實踐與體會，以此題為例，談談高考數學復習中，對高考試題研究的幾個思考角度．

一、考題呈現，思立意

(2017年高考數學浙江卷第15題)設向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.則|a+b|+|a-b|的最小值是____,最大值是____.

命題立意:本題以平面向量在三角形與平行四邊形中的應用為載體，考查平面向量的內容，包括平面向量的坐標運算，數量積及其幾何意義，三角不等式及基本不等式等基礎知識.

本題考查學生上述基礎知識的綜合運用能力，以及對試題提供的信息進行轉化、重組的能力;也體現了向量在三角形、平行四邊形中的幾何應用，向量的代數形式運算與幾何形式運算的相互轉化的重要性，以及化歸與轉化、數形結合等思想方法.

二、分析思路，思解法

高考試題的顯著特點是入口寬，解法多，深入難，能區分不同知識水平考生的思維層次．在高三數學復習教學中，要真正發揮高考試題的基礎性、典型性和示范性，需從不同角度對問題進行探究分析，以期獲得不同解法的啟迪．

解法一考題涉及到兩個向量的模之和，很自然聯想到向量模的運算性質，即向量三角不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

從而有|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=|2b|=4.

當且僅當a+b與a-b反向時取”=”號．即a與b共線時取”=”號．所以|a+b|+|a-b|的最小值是4.

解法二運用平行四邊形對角線性質，向量數量積性質及基本不等式求解．

(|a+b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b||a-b|=2(|a|2+|b|2)+2|a+b||a-b|=10+2|a+b||a-b|.一方面，由向量數量積性質得|a+b||a-b|≥|(a+b)·(a-b)|=|a2-b2|=3，當且僅當(a+b)∥(a-b)時取”=”號；

即16≤(|a+b|+|a-b|)2≤20.

解法三采用坐標運算．不妨假設a與x軸平行，不影響解題．

設a=(1,0),b=(2cosα,2sinα),α∈[0,2π].

解法四設a=(1,0),b=(2cosα,2sinα),α∈[0,2π].由解法三得

求最小值同解法三．可用柯西不等式求最大值．

∵(|a+b|+|a-b|)2

三、回歸教材，思源頭

人教版《數學》(必修4)教材第82頁：

探究:a,b處于什么位置時,(1)|a+b|=|a|+|b|.(2)|a+b|=|a|-|b|.

分析(1)當a與b同向時|a+b|=|a|+|b|. (2)當a與b反向，且|a|>|b|時，|a+b|=|a|-|b|.綜合(1)(2)得到下列不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.這為解法一提供了依據．

人教版《數學》(必修4)教材第109頁：

①

②

這一結論為解法二提供了依據．

四、研究試題，思變式

變式就是把試題進行重組、嫁接、引申、拓展．G.波利亞說過:“好問題同種蘑菇類似,它們都成堆生長,找到一個以后,你應當在周圍找一找,很可能附近就有好幾個.”一般來說,高考試題是金典問題,很有代表性.我們有必要認真研究,充分發掘它的應用價值,對它進行變式、引申、拓展．

變式1:設向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.求|a+b|-|a-b|的最大值與|a+b||a-b|的最小值.

設計意圖:原高考題考查的是以向量a,b為鄰邊作平行四邊形,求兩對角線長的和的最值問題,我們會自然想到,如何求這兩對角線長的差與積的最值呢?因此可設計此題.

變式2:設向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.且a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,求|c|的最大值與最小值.

設計意圖:原高考題已知條件中兩向量的模為定值,但兩向量的夾角是變化的,我們可以考慮兩向量垂直這一特殊情況,引入向量c滿足條件|c-a-b|=1.可設a=(1,0),b=(0,2),c=(x,y).運用圖形法求解.此變式與2013年湖南高考理科數學試題第6題很相似.

變式3:設向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ).當|a+b|取最大值時求cos2(α-β)的值.

設計意圖:把原高考題的已知條件坐標化，并用三角函數的形式呈現，這樣不僅考查向量的模的計算，又考查三角恒等變換等知識.

五、總結反思，思導向

這幾年浙江省向量考題都編制得十分精致，非常漂亮，其一是它的解題方法很多，很好地考查了不同層次的學生對知識的掌握程度;其二是向量本身具有雙重性，兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀，因此，在解決向量問題時，一方面，我們可以根據向量的有關公式、運算律解決;另一方面,也可以結合向量的幾何意義畫圖解決.

一道好題并不在于它的深奧，而在于它的導向和示范作用，好的高考試題往往不一定都是新題，它往往就來源于教材，既能引導師生重視教材作用和對基本知識的學習，又能讓師生意識到僅僅靠題海戰術和死記硬背是無法在高考中取得高分.”新高考”模式下的數學試題更加注重問題的本質和思維的創新,不能靠機械性、模式化的應試訓練來解決，而是要具備扎實的基本功和必要的數學素養，才能使解題更有深度、厚度和廣度.