2019年北京大學自主招生數學試題(部分)及其詳解

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

2019年北京大學自主招生數學試題全部是單項選擇題.本文中的試題均是由參加考試的學生回憶得出的，因而回憶出的題目可能不準確(沒有回憶出選項的題目均改成了填空題)，題目也不全，題號也不準確.解得由筆者給出.

2.若復數z1,z2分別滿足|z1-3i|=2,|z2-8|=1，則在復平面上所有由復數z1-z2對應的點圍成的面積是( ).

A.4π B.8π C.10π D.前三個答案都不對

3.若從1,2,3,4,5,6,7,8,9中隨機地取出四個兩兩互異的數，分別記為a,b,c,d，則a+b與c+d奇偶性相同的概率是.

4.在正方形ABCD中，K為△BCD內一點，且∠KDB=∠KBC=10°，則∠KAD=( ).

A.45° B.60° C.70° D.前三個答案都不對

5.已知x,y∈Z，若(x2+x+1)2+(y2+y+1)2為完全平方數，則數對(x,y)的對數( ).

A.0 B.1 C.無窮多 D.前三個答案都不對

A.3 B.7 C.1 D.前三個答案都不對

8.若數列{an}滿足ak+ak+1=4k+3(k∈N*)，則a2019+a2=，a2020-a2=.

進而可得題設即〈α,β〉=0.

如圖1所示，作Rt∠AOB的平分線OX，且OA=a,OB=b,OX=x.

由余弦定理及題設，可得

而由由線段公理，可得AX+BX≥AB，所以AX+BX=AB，即點X在線段AB上.

2.B.可得復數z1對應的點Z1(x1,y1)的軌跡是圓x2+(y-3)2=22，復數z2對應的點Z2(x2,y2)的軌跡是圓(x-8)2+y2=12，因而可設

再設復數z1-z2對應的點是Z(x,y)，可得

(x+8)2+(y-3)2=5-4cos(α-β).

因為5-4cos(α-β)的取值范圍是[12,32]，所以復數z1-z2對應的點圍成的圖形是以點(-8,3)為圓心、半徑分別為1,3的兩個圓組成的圓環，因而其面積是π(32-12)=8π.

(1)a+b與c+d都是奇數，有(2·5·4)·(2·4·3)=960種情形.

(2)a+b與c+d都是偶數，包括下面的四小類(共624種情形)：

圖3

在△ADK中，可得AD=1,DK=2sin35°,∠ADK=∠ADB+∠BDK=45°+10°=55°，由余弦定理可得AK2=12+(2sin35°)2-2·1·2sin35°·cos55°=12,AK=1.

因而在△ADK中，可得AK=AD=1，所以∠AKD=∠ADK=55°,∠KAD=180°-55°·2=70°.

5.A.當x,y∈Z時，可設x2+x+1=x(x+1)+1=2m+1(m∈Z)，同理可設y2+y+1=2n+1(n∈Z)，所以(x2+x+1)2+(y2+y+1)2=(2m+1)2+(2n+1)2=4(m2+n2+m+n)+2.

因而(x2+x+1)2+(y2+y+1)2被4除余2，所以(x2+x+1)2+(y2+y+1)2不為完全平方數.

圖4

由橢圓的定義，可得|PF1|+|PF2|=2a,

|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2. ①

在△PF1F2中，由余弦定理可得

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos2θ

=|F1F2|2=4c2. ②

①-②，可得2|PF1|·|PF2|(1+cos2θ)=4b2,

若點P是橢圓Γ的上頂點，可得點P的坐標是(0,4)，進而可得△PF1F2的內切圓半徑r滿足

=r(a+c)=r(5+3)=8r.

再由橢圓的焦半徑公式，可得

8.4043,4036.由題設，可得