追本溯清源 條件求本真
——一道條件概率課本題的解法剖析與反思

柏葉婷

(江蘇省徐州市第二中學(xué) 221006)

在近四年的全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題中，除2018年全國(guó)卷Ⅱ(理)中條件概率結(jié)合數(shù)學(xué)文化出了選擇題外，2015—2017年全國(guó)卷Ⅰ(理)中，條件概率和事件獨(dú)立性3次出現(xiàn)在大題位置.基于此，條件概率和獨(dú)立性在概率教學(xué)中是非常重要的.我們先來(lái)看一道蘇教版選修2-3第67頁(yè)的課本原題.

課本真題8某單位有18個(gè)人，其中O型血有9人，A型血有3人，B型血有4人，AB型血有2人.現(xiàn)從中選出2人.問(wèn)：在第一人是A型血的條件下，第二人是O型血的概率是多少?

在筆者所教44人班級(jí)中，透過(guò)條件概率涉及的四個(gè)維度，調(diào)查了學(xué)生在解決上述問(wèn)題的思維導(dǎo)向，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：

維度學(xué)生思維導(dǎo)向關(guān)注頻數(shù)對(duì)“條件關(guān)系”和“因果關(guān)系”的理解是否清楚“條件關(guān)系”與“因果關(guān)系”40對(duì)“可重復(fù)”和“不重復(fù)”兩種情境的理解對(duì)樣本空間改變后事件的概率15是否能借助2×2列聯(lián)表理解條件概率18對(duì)時(shí)間順序偏見(jiàn)以及“不重復(fù)”情境下條件概率的理解35對(duì)“可重復(fù)”情境下條件概率的理解17能否將一個(gè)復(fù)雜事件分解成兩兩互斥事件,并用概率加法和乘法公式求得概率10對(duì)“同步”和“先后”兩種情境的理解對(duì)“同步”情境的理解35對(duì)“先后”情境的理解38對(duì)兩個(gè)事件獨(dú)立性的理解對(duì)“獨(dú)立性”定義的理解14是否能辨析互斥事件和獨(dú)立事件18對(duì)兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的理解12

通過(guò)以上統(tǒng)計(jì)表不難發(fā)現(xiàn)高二同學(xué)對(duì)條件概率的理解是有偏差的.謝美華教授曾指出對(duì)條件概率常犯的錯(cuò)誤：1對(duì).題目中的“條件”存在知覺(jué)不到位情況；2.“增加條件”后樣本空間的變化關(guān)注度不夠；3.在概率的計(jì)算中“獨(dú)立性”的缺失.2017年新課改后，教材已將“獨(dú)立性”放在了條件概率之后，用條件概率公式推導(dǎo)出兩獨(dú)立事件的乘法公式，借此作為判斷兩事件獨(dú)立性的條件，即“設(shè)A、B為兩個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱(chēng)事件A與事件B是相互獨(dú)立.”這說(shuō)明它是一個(gè)充要條件.

另外，學(xué)生理解條件概率是感性的.這點(diǎn)可以借助2×2列聯(lián)表幫助學(xué)生理解條件概率.例如，筆者調(diào)查了所在學(xué)校的高二年級(jí)432名學(xué)生(男生232名、女生200名)是否喜歡下圍棋，結(jié)果顯示男生中喜歡下圍棋的有150名，女生中喜歡下圍棋的有80名.設(shè)計(jì)問(wèn)題如下：

(1)學(xué)生喜歡下圍棋的概率是多少？

(2)女學(xué)生喜歡下圍棋的概率是多少？

(3)選出一名女學(xué)生并且她喜歡下圍棋的概率是多少？

可以根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下：

類(lèi)型男生女生總計(jì)喜歡下圍棋15080230不喜歡下圍棋82120202總計(jì)232200432

最后，為培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方式進(jìn)行表達(dá)，在講條件概率概念時(shí)更應(yīng)注意結(jié)合問(wèn)題情景，利用關(guān)鍵詞去區(qū)別條件概率和事件積的概率．條件概率計(jì)算的是一個(gè)事件已確定發(fā)生的“條件”下另一個(gè)事件發(fā)生的情況，這兩個(gè)事件并不對(duì)等，“條件”是已發(fā)生確定性事件，后一個(gè)是緊隨第一個(gè)變化的隨機(jī)事件；而事件積就是兩個(gè)事件“共生”的情況，其中的兩個(gè)事件都是隨機(jī)事件，在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)時(shí)，兩個(gè)事件可能分先后用一句話(huà)闡述，也可能中間用“，”或“、”分開(kāi)．因此，在教學(xué)時(shí)，我們區(qū)別條件概率與事件積的概率，可以重點(diǎn)關(guān)注兩處：(1)看問(wèn)題中是否有“事件A發(fā)生的條件下”之類(lèi)的詞語(yǔ)；(2)由題意結(jié)合生活常識(shí)分析事件間的先后順序及關(guān)聯(lián)性．