追本溯清源 條件求本真
——一道條件概率課本題的解法剖析與反思

柏葉婷

(江蘇省徐州市第二中學 221006)

在近四年的全國數學高考試題中，除2018年全國卷Ⅱ(理)中條件概率結合數學文化出了選擇題外，2015—2017年全國卷Ⅰ(理)中，條件概率和事件獨立性3次出現在大題位置.基于此，條件概率和獨立性在概率教學中是非常重要的.我們先來看一道蘇教版選修2-3第67頁的課本原題.

課本真題8某單位有18個人，其中O型血有9人，A型血有3人，B型血有4人，AB型血有2人.現從中選出2人.問：在第一人是A型血的條件下，第二人是O型血的概率是多少?

在筆者所教44人班級中，透過條件概率涉及的四個維度，調查了學生在解決上述問題的思維導向，統計人數如下表：

維度學生思維導向關注頻數對“條件關系”和“因果關系”的理解是否清楚“條件關系”與“因果關系”40對“可重復”和“不重復”兩種情境的理解對樣本空間改變后事件的概率15是否能借助2×2列聯表理解條件概率18對時間順序偏見以及“不重復”情境下條件概率的理解35對“可重復”情境下條件概率的理解17能否將一個復雜事件分解成兩兩互斥事件,并用概率加法和乘法公式求得概率10對“同步”和“先后”兩種情境的理解對“同步”情境的理解35對“先后”情境的理解38對兩個事件獨立性的理解對“獨立性”定義的理解14是否能辨析互斥事件和獨立事件18對兩個事件是否相互獨立的理解12

通過以上統計表不難發現高二同學對條件概率的理解是有偏差的.謝美華教授曾指出對條件概率常犯的錯誤：1對.題目中的“條件”存在知覺不到位情況；2.“增加條件”后樣本空間的變化關注度不夠；3.在概率的計算中“獨立性”的缺失.2017年新課改后，教材已將“獨立性”放在了條件概率之后，用條件概率公式推導出兩獨立事件的乘法公式，借此作為判斷兩事件獨立性的條件，即“設A、B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B是相互獨立.”這說明它是一個充要條件.

另外，學生理解條件概率是感性的.這點可以借助2×2列聯表幫助學生理解條件概率.例如，筆者調查了所在學校的高二年級432名學生(男生232名、女生200名)是否喜歡下圍棋，結果顯示男生中喜歡下圍棋的有150名，女生中喜歡下圍棋的有80名.設計問題如下：

(1)學生喜歡下圍棋的概率是多少？

(2)女學生喜歡下圍棋的概率是多少？

(3)選出一名女學生并且她喜歡下圍棋的概率是多少？

可以根據題意列出2×2列聯表如下：

類型男生女生總計喜歡下圍棋15080230不喜歡下圍棋82120202總計232200432

最后，為培養學生用數學方式進行表達，在講條件概率概念時更應注意結合問題情景，利用關鍵詞去區別條件概率和事件積的概率．條件概率計算的是一個事件已確定發生的“條件”下另一個事件發生的情況，這兩個事件并不對等，“條件”是已發生確定性事件，后一個是緊隨第一個變化的隨機事件；而事件積就是兩個事件“共生”的情況，其中的兩個事件都是隨機事件，在用數學語言表達時，兩個事件可能分先后用一句話闡述，也可能中間用“，”或“、”分開．因此，在教學時，我們區別條件概率與事件積的概率，可以重點關注兩處：(1)看問題中是否有“事件A發生的條件下”之類的詞語；(2)由題意結合生活常識分析事件間的先后順序及關聯性．