一道高考試題的解法探究與變式拓展

李海堂

(重慶市榮昌中學校 402460)

眾所周知，教學離不開解題，高考真題可以為教師的授課提供有益的、切實可行的案例，有利于學生對數學知識的理解和思維的發展. 近年來，同角三角函數的基本關系、三角恒等變換、三角函數的最值問題一直是高考的熱點問題，此類問題綜合性強、內涵豐富，解法多樣. 本文對2018年高考全國Ⅰ卷數學理科16題進行解法探究及變式拓展.

一、試題呈現

已知函數f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

二、解法探究

1.利用四元均值不等式，巧妙轉化

解法2 由已知得：f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)

∴[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2

=4(1-cosx)(1+cosx)3

點評運用的是四元均值不等式解決此題，它的突破口是通過二倍角公式轉化為同一個角三角函數，平方后通過四元均值不等式“一正、二定、三取等”求最值，平方變換是關鍵，湊成和是一個常數是難點，四元均值不等式由于平時訓練較少，學生難以突破.

2.利用導函數法，直擊要害

解法3由已知得：

又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

解法4由已知得：f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

∴[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3.

令t=cosx，則g(t)=4(1-t)(1+t)3(-1≤t≤1)

g′(t)=4[-(1+t)3+3(1-t)(1+t)2]=4(1+t)2(2-4t).

點評通過對f(x)求導或[f(x)]2后換元再求導，確定其單調性，根據單調性求出f(x)的最值，關鍵點是函數求導，解法4平方轉化利用sin2x+cos2x=1換成一個未知數cosx的函數是難點，求導方法學生容易想到，但容易出錯.

3.利用幾何方法，凸顯本質

解法5由已知得：

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx).

設sinx=m，1+cosx=n，則m2+(n-1)2=1，f(x)=2mn.

問題轉化為在m2+(n-1)2=1下，求2mn的最小值.

當m=0時，f(x)=0.

求f(x)的最小值只需考慮t<0的情況.

解法6 由已知得：f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx).

設sinx=m，1+cosx=n，則m2+(n-1)2=1，f(x)=2mn.

問題轉化為在m2+(n-1)2=1下，求2mn的最小值.

當m=0時，f(x)=0.

令f(n)=-n4+2n3(0≤n≤2),

點評把三角問題通過換元轉化為幾何問題，采用雙換元的思想，通過三角變換消去sinx、cosx，利用數形結合的思想，研究兩曲線的切線問題求得其最小值，對考生的化歸與轉化、運算求解的能力要求較高.

三、變式拓展

通過對問題進行拓展研究，給出如下變式.

變式1已知函數f(x)=2sinx+cos2x，則f(x)的最小值是____.

解由f(x)=2sinx+cos2x得

當sinx=-1時，f(x)取得最小值，最小值為-3.

變式2已知函數f(x)=2sin2x+sin2x，則f(x)的最小值是____.

解由f(x)=2sin2x+sin2x得

變式3已知函數f(x)=2sinx+2cosx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

解法1由f(x)=2sinx+2cosx+sin2x得

故當t=-1時，y最小即f(x)取得最小值，最小值為-2.

∴g′(t)

如果學生在平時的練習中能總結這些題型的方法，三角函數求最值問題就很容易得到解決.

(1)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數，可先設t=sinx，轉化為關于t的二次函數求最值問題.

(2)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數，可轉化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式，再求最值.

當然，有些三角函數求最值的題目難度較大，要利用三角恒等變換、換元思想通過均值不等式或用導函數求最值，這種題目換元化簡及求導都較復雜，易出錯，找導函數的零點是一個難點，運算能力要求也較高.