一道三角形最值問題的解法探究

曹越程

(河北省唐山市海港高級中學 063611)

一、例題

下面是石家莊二中高考模擬題的改編題.

題目已知：△ABC為等腰三角形，AB=AC，BD為AC邊上的中線，且BD=2，

求△ABC面積的最大值.

分析該題目條件干凈利落，內容豐富深刻，解題切入靈活，希望大家有所收獲.

二、多種解法

1.構造函數法

通過引進變量，可以選取長度也可以是角度，構造目標函數求得最值.

(2)從腰長切入.設AD=t，則AB=2t,BD=2,△ABD中由余弦定理得：

(4)從頂角切入.設∠BAC=2θ，AB=AC=x,由余弦定理得：

2.平面幾何法

通過利用三角形重心的性質，借助正弦定理面積公式求解.

3.解析幾何法

建立平面直角坐標系，通過坐標的代數運算求解.

4.極坐標法

極坐標是通過長度和角度來確定點的位置，必要時可考慮在極坐標下解題.

如圖：以BD所在射線為極軸建立極坐標系，設A(ρ,θ)，D(2,0)，