一道三角形最值問(wèn)題的解法探究

曹越程

(河北省唐山市海港高級(jí)中學(xué) 063611)

一、例題

下面是石家莊二中高考模擬題的改編題.

題目已知：△ABC為等腰三角形，AB=AC，BD為AC邊上的中線，且BD=2，

求△ABC面積的最大值.

分析該題目條件干凈利落，內(nèi)容豐富深刻，解題切入靈活，希望大家有所收獲.

二、多種解法

1.構(gòu)造函數(shù)法

通過(guò)引進(jìn)變量，可以選取長(zhǎng)度也可以是角度，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)求得最值.

(2)從腰長(zhǎng)切入.設(shè)AD=t，則AB=2t,BD=2,△ABD中由余弦定理得：

(4)從頂角切入.設(shè)∠BAC=2θ，AB=AC=x,由余弦定理得：

2.平面幾何法

通過(guò)利用三角形重心的性質(zhì)，借助正弦定理面積公式求解.

3.解析幾何法

建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算求解.

4.極坐標(biāo)法

極坐標(biāo)是通過(guò)長(zhǎng)度和角度來(lái)確定點(diǎn)的位置，必要時(shí)可考慮在極坐標(biāo)下解題.

如圖：以BD所在射線為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)A(ρ,θ)，D(2,0)，