由人體運動談內力做功

趙香云

(安徽省碭山中學 235300)

功的理解和計算是高中物理教學的重點和難點，特別是涉及內力做功，象人體內力做功問題，學生往往照搬概念和公式來分析從而得出錯誤的答案，細細推敲，原因在于人體運動時身體各部分發生的位移有所不同，而一味簡單的將人體受力做功情況理解為力及整個人體在力的方向上發生的位移的乘積必將得到錯誤的結果.

一、通過問題悟出“道理”

在教學中，我遇到了這樣的問題：如圖1所示，平板車放置在光滑的水平面上，一個人從車輛的左端加速跑到右端，設人受到的摩擦力為Ff，平板車受到的摩擦力為Ff′，以下陳述正確的是( ).

A.Ff、Ff′均做負功

B.Ff、Ff′均做正功

C.Ff做負功，Ff′做正功

D.因為是靜摩擦力，Ff、Ff′做功均為零

給出的參考答案如下：如圖1所示,人在移動的過程中，人對車的摩擦力向左，而車輛向后移動，因此人對車的摩擦力做了積極的“工作”，即人對車的摩擦力做正功；但對于人來說，人在蹬車過程中，人受到的是靜摩擦力，方向向右，位移也向右，故摩擦力對人做正功，故選項B正確.

我認為這種解釋不完全正確，人對車的摩擦力做正功是正確的，但是車對人的摩擦力做的功應該是負功.因為做功應該是力在物體上的作用點產生的位移，人在蹬車時產生的摩擦力是靜摩擦力，人接觸車的腳的位移實際上是向左的，故摩擦力對人做的是負功，應該選擇C項.對于這個人車系統而言，摩擦力做功的代數和為零，系統無內能產生，系統增加的動能是人體內的內力做功將生物能轉化而來的，對于人車系統而言，摩擦力只是起到了能量傳遞的作用，是內力外顯的一種表現.

這類似于人體上跳現象，有的同學認為人受重力和支持力，由于人的機械能增加，所以支持力做正功.這種觀點是錯誤的，原因在于沒有真正理解力做功的條件，判斷力是否做功，要看力作用在物體上的接觸點的位移.人起跳時，有支持力，但地對腳的支持力作用在腳上，腳并沒有發生位移.人體上跳總是先蹲下身去，然后再向上伸直身體，這實際上是通過腿關節的內力對人體上部做功，使之獲得向上的動能，隨后動能轉化為身體向上騰空時增加的勢能，并同時把下肢帶離地面，這也是內力做功的一種表現.

其實，從能量的轉化角度來分析將會更簡單，做功的過程是能量轉化的過程，人上跳時機械能增加，對其做功的物體要消耗等量的能量.如果是地對人的支持力做了功，那么地面消耗的是什么能量呢？因此，當找不到能量轉化的時候，做功的過程就不存在了.

二、構建情景模型

這種起跳現象可以用下面的彈簧模型來很好的解釋：用一根彈簧將質量分別為m1和m2的上下兩水平木板連接，如圖2所示，下板放在地面上，問：對上板加多大的向下的壓力F，才能因突然撤去它使上板向上跳而把下板拉起來？

分析參看圖3，取上板的平衡位置為x軸的的原點，并設彈簧為原長時上板處在x0位置.

系統的彈性勢能

可見，如選上板在彈簧上靜止的平衡位置為原點和勢能零點，則系統的總勢能將以彈性勢能的單一形式出現.

參看圖4，以加力F時為初態，撤去力F而彈簧伸長最大時為末態，則

又因為恰好提起下板時，k(x2-x1)=m2g,而kx1=F，kx0=m1g

代入得：F=(m1+m2)g

這就是說，當F≥(m1+m2)g時下板就能被拉起，題中彈簧系統的上跳和人體的上跳具有相似性，彈簧系統通過力F做功獲得彈性勢能，撤去外力后，彈性勢能釋放出來轉變為動能和重力勢能，隨后動能又轉變為重力勢能，而使兩板的位置被提高，上跳過程中是內力(彈力)在做功.這個模型大家很清楚地對下板沒有做功，因為下板沒有動，而它的“作用”與人體上跳中腳的“作用”是一樣的，這樣就能很好的理解為什么腳受到的支持力沒有做功.

當然，模型與人體上跳的內力也有不同之處，一個彈簧彈力(保守內力)，做功系統機械能不變，一個人體內力(非保守力)做功，系統機械能改變.但二者的動作過程是很相似的.

三、問題拓展

鑒于上述學生出現的問題，追其原因也存在將質點(單一物體)的動能定理取代質點組(系統)的動能定理的情況.對于人體上跳問題，學生主觀片面的認為支持力做正功，原因在于學生習慣了將人當做一個整體，其機械能的改變原因只從他受到的外力做功的情況去分析.其實，對人來說，由于其手、腳、腿等身體各部分是可以活動的，身體各部分的位移發生變化，此時不能再將人當作質點，而應該將其分解為質點組.所以教學中要給學生強調：(1)當我們選取單個物體為研究對象時，外力所做的功，指的是作用在物體上的所有外力所做的總功，等于物體動能的變化量.(2)當研究對象為質點組(系統)時，系統的外力和內力做功的總和等于系統動能的變化量.

譬如這樣一個題目：如圖5所示，質量為M的卡車載一質量為m的木箱，以速率v沿平直路面行駛，因故障突然緊急剎車，車輪立即停止轉動.卡車在路面上滑行一段距離L后停止，木箱在卡車上向前滑動了X的距離.已知木箱與卡車的滑動摩擦系數為μ1，求：(1)卡車的滑行距離L；(2)車輪與地面的滑動摩擦系數μ2.假設木箱和卡車同時靜止.

解以地面為參考系，分別畫出卡車和木箱的受力分析圖，如圖6、7所示.

(1)以木箱為研究對象，重力和車對它的支持力都與木箱位移垂直，不做功.車廂對木箱的摩擦力f′做負功.注意，木箱相對于地面的位移大小為L+x，而不是x.根據質點動能定理

(2)因為卡車和木箱同時靜止，因此μ1、μ2、L、x之間必然有聯系.現以木箱和汽車組成的質點組為研究對象，

外力做功W1=-μ2(m+M)gL

內力做功W2=-μ1mg(L+x)+μ1mgL=-μ1mgx

根據質點組動能定理：

①②聯立得：

由本題可知：(1)卡車和木箱之間的相互摩擦力f和f′做的功各為μ1mgL和-μ1mg(L+x)，可見一對內力所做的功并不一定等值反號，這說明應用質點組動能定理時，一定要考慮內力做功.

(2)作用于車廂的滑動摩擦力f做了正功μ1mgL，可見摩擦力并不總是做負功.因此，我們不能主觀地認為某些力一定做正功或負功，而必須在搞清楚力和相對于一定參考系受力點位移的基礎上作具體分析.

總之，在分析力對質點組做功問題時一定要關注力在物體上的作用點的位移以及內力做功情況.