電容綜合問題中的短暫過程與持續過程

2019-08-26 08:05:04陶漢斌

數理化解題研究 2019年22期

陶漢斌

(浙江省金華第一中學 321015)

一、RC電路的一般特征

當uc=E時，i=0，充電過程結束.試驗證明，充電過程可用下面公式進行描述，即

從公式中不難看出，充電過程中uc和i是按指數規律變化的，而充電的快慢取決于電阻和電容的乘積，因此稱RC為時間常數τ，即τ=RC.如果R和C的單位取歐姆和法拉，則τ的單位為秒.從中可以看出，τ越大充電越慢.當t=3τ時，uc=0.95E，當t=5τ時，uc=0.993E.一般認為當t=3τ～5τ時，電容器上的電荷已被充滿.我們可用圖2所示的圖線來直觀理解電容器充電過程中電流與時間的關系.

當t=4τ～5τ時，工程上即認為電容的初始儲能已被全部消耗，也就是放電完畢.其放電過程的中電流與時間的關系與如圖2相仿.

當然，如果當開關打接到a充電時電容器的初始電壓uc不為零，那么充放電過程的公式將更加復雜，在這里就不進行討論了.

二、理解短暫過程與持續過程

在RC電路中，充放電的快慢取決于電阻和電容的乘積，因此稱RC為時間常數τ.當t=5τ時電容器充放電基本完成，那么這個5τ時間能否理解為“瞬間”的短暫過程呢？還是應該理解為一個較長的持續過程呢？

我們可以設想在12V電源上充電，理想狀態電池沒有內阻，連接的導線也沒有電阻，τ=RC=0，充電時間等于0，瞬間電流無窮大，這當然就應該理解為“瞬間”的短暫充電過程.同理如果電容器放電的過程中電路中的所有電阻都可忽略不計，比如用一根足夠強度的金屬絲，直接短路電容器兩端使它放電，則由于金屬絲長度很短，電阻很小，造成短路電流很大，電容器儲存的電荷瞬間被釋放完畢，這也是“瞬間”的短暫放電過程.

在實際的電路中肯定存在一定的電阻，比如整個電路的等效電阻為1Ω，電容器的電容為1000uF，時間常數τ=RC=1ms，充放電的時間可認為就是5τ=5ms，這個過程就可理解為較長的持續過程.如果我們將電容器換成1F的超級電容，那么時間常數τ=RC=1s，充放電的時間就是5τ=5s，這應該是一個相當的長的持續過程了.這種短暫過程與持續過程，在經典力學中涉及動量守恒問題時也常常有這兩種過程的分析.

三、典型錯例欣賞

(1)導體棒獲得初速度v0時，電容器的帶電量；

(2)導體棒上滑過程中加速度的大小

(3)求導體棒從最高點滑到低端的時間.

解析本題從力與能量兩個角度分析電磁感應現象，根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電流的定義式推導出電流與加速度的關系是解題的關鍵.對于第2小題導體棒切割類型，關鍵要正確受力分析，把握其運動情況和能量轉化關系.

(1)【霧里看花】

當導體棒獲得初速度v0時將產生感應電動勢，電容器的電壓等于此時導體棒切割磁感線產生感的應電動勢，即

U=E=BLv0

此時電容器的帶電量為

q=CU=CBLv0

【正本清源】由于電容與導體構成的回路中，整個回路的電阻為0，電容器初始電壓為0，電容器充電的過程是一個短暫的過程.在這個短暫的過程中，導體棒的電流為無窮大，它將受到很大的安培力作用(此時重力可忽略)，在瞬間安培力的作用下導體棒的速度發生突變而位置不變，這類似經典力學中的瞬間碰撞過程.我們可在這個短暫的過程對棒應用動量定理

-BiL·Δt=mv-mv0

而充電的電流