輕桿雙球模型問題的處理探索

張大洪

(重慶市潼南實驗中學 402660)

一、例題解析

圖1

A.下滑過程中A的機械能守恒

B.當A滑到軌道最低點時,軌道對A的支持力大小為2mg

C.下滑過程中重力對A做功的功率一直增大

圖2

二、總結

1.輕桿雙球模型

輕桿兩端(或兩處)各固定(剛性固定、鉸鏈連接)一個物體，整個系統一起沿斜面運動、繞某點轉動、作一般的平面運動的模型．

2.模型特點

(1)不計桿的質量、大小及運動過程的形變，忽略空氣阻力和各種摩擦；

(2)輕桿雙球模型平動時兩物體線速度相等，繞某點作定軸轉動時兩物體角速度相等；

(3)輕桿雙球模型作一般平面運動時兩物體的速度將滿足關聯關系即兩端物體的運動速度按效果進行分解，在沿輕桿方向上二物體的分速度必相等；

(4)桿對物體的作用力不總是沿桿的方向；

(5)桿能對各物體做功(正、負)，單個物體機械能不守恒；

(6)對于桿和物體組成的系統，沒有重力以外的外力對系統做功，系統的總機械能守恒.

3.輕桿雙球模型問題的實例分析與處理

圖3

例1 如圖3所示在長為L的硬質輕桿中點A處固定質量為3m的小球，在桿端點B處固定一質量為m的小球，桿可繞無摩擦的軸O轉動；現使桿從水平位置無初速度釋放，求當桿轉到豎直位置的過程中輕桿對A、B兩球分別做了多少功？

點評(1)本類題目易誤認為兩球的線速度相等，還易誤認為單個小球的機械能守恒.

(2)桿對球的作用力方向不再沿著桿，桿對小球B做正功從而使它的機械能增加，同時桿對小球A做負功，使小球A的機械能減少，系統的機械能守恒.

例2(2015·江蘇·14)一轉動裝置如圖4(1)所示,四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小環通過鉸鏈連接，輕桿長均為L，球和環的質量均為m；輕桿O端固定在豎直的輕質轉軸上，套在轉軸上的輕質彈簧連接在O與小環之間，輕彈簧原長為L，裝置靜止時彈簧長為3L/2；轉動該裝置并緩慢增大轉速，小環緩慢上升；彈簧始終在彈性限度內，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，求 (1)彈簧的勁度系數k；(2)AB桿中彈力為零時，裝置轉動的角速度ω0；(3)彈簧長度從3L/2緩慢縮短為L/2的過程中，外界對轉動裝置所做的功W.

圖4

點評由鉸鏈連接的二小球，輕桿上的力必沿輕桿方向；處理時必須能準確的對小環、小球進行受力、狀態及運動過程的分析，利用物體的平衡、牛頓第二定律、動能定理求解功和能；要明白不同狀態下的幾何關系與對應角度的三角函數值的求出；還須注意過程中彈力雖在不斷變化，但由于初、末狀態形變相等，彈性勢能相等，故此過程彈力做功必為0.

例3 (多選)(2015·全國卷Ⅱ 21題)如圖4所示滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止釋放系統并開始運動．不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g.則( ).

A．a落地前輕桿對b一直做正功

C．a下落過程中其加速度大小始終不大于g

D．a落地前當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg

圖5

圖6

點評(1)剛性輕桿不伸縮，兩滑塊沿桿的分速度相同．(2)由于桿與物體是通過鉸鏈連接故輕桿對物體的作用力必沿桿的方向，輕桿對滑塊a、b都做功，系統機械能守恒．

圖7

例4 (2017江蘇高考，9，4分)(多選)如圖7所示三個小球A、B、C的質量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，輕桿長為L；B、C置于水平地面上，用一輕質彈簧連接，彈簧處于原長；現A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角α由60°變為120°；A、B、C在同一豎直平面內運動，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g；則此下降過程中( ).

C.彈簧的彈性勢能最大時,A的加速度方向豎直向下

點評本題涉及牛頓第二定律、機械能守恒定律等內容.特別是對多物體系統機械能守恒問題,要善于應用機械能轉移表達式ΔE重力勢能的減小=ΔE彈性勢能的增加來分析問題.

4.處理輕桿雙球模型實際問題中的注意

(1)明確輕桿雙球模型的類型，從而確定兩物體的線速度、角速度是否相等，并確定二物體線速度的數量關系；注意二物體通過輕桿相關聯時物體速度按效果的分解，抓住沿桿方向二物體的速度相等的關聯關系；

(2)桿對物體作用力方向不一定沿著桿，分清是剛性固定或鉸鏈連接；

(3)桿對一個物體做正功，使其機械能增加，同時桿對另一物體做負功，使其機械能減少，故單個物體的機械能不守恒，但系統的機械能守恒.