借助摩擦角 快解勻速運動問題

陳桂宏

(江蘇省如皋市搬經中學 226500)

平衡問題中經常會出現共點力求極值的情況，借助三角函數可以解決此類問題，但是對學生的數學能力要求較高，引入摩擦角卻可以避免繁瑣計算，簡化極值的求解.本文就通過例子感受引入摩擦角對問題解決的便利.

一、依托摩擦角，研究水平面上的勻速直線運動

例1一木塊位于水平面上，木塊與地面之間的滑動摩擦因素是μ(0<μ<1).現在在木塊上施加如圖1所示的拉力F使得木塊做勻速直線運動.設F與水平面的夾角是θ，當θ的角度從0逐漸增到90°的過程中，木塊始終保持速度不變，則( ).

A.F先減小后逐漸增大 B.F一直在增大

C.F的功率逐漸減小 D.F的功率始終保持不變

解析基本解法是先分析木塊的運動狀態，因木塊速度保持不變，所以始終處于平衡狀態，因此畫出相關的受力圖，根據力的合成與分解進行解題.經過一系列運算，可以判斷出A,C正確.因運算量與借助摩擦角的方法相比，較大，因此對此類問題，也可以嘗試用摩擦角解決.將木塊所受的支持力和摩擦力用FR等效替代，則木塊只受到三個力的作用，其中FR方向保持不變，與豎直方向的夾角為φ(tanφ=μ)，畫出此時木塊的受力分析圖，并結合平行四邊形法則，最終得到如圖2的圖.當θ的角度從0逐漸增到90°的過程中，由圖知，F先減小后逐漸增大.又木塊處于平衡狀態，則水平方向的合力為0，即Fcosθ=FRcosφ，則F的功率p=Fvcosθ=FRvcosφ.因此當θ從0增到90°的過程中，FR逐漸減小，所以功率逐漸減小.

反思借助摩擦角避免了一般解法的繁瑣思考與計算，但需要學生切實把握物體的受力情況，和把FR等效替代的哪些力了然于心.

二、憑借摩擦角，理清斜面上的勻速直線運動

例2質量為m的一物體放置在傾斜角為θ的斜面上，已知物體與斜面之間的動摩擦因素是μ，問拉力取值最小時，物體能夠沿著斜面勻速向上運動，求此時的拉力.

三、借助摩擦角，解決磁場中的勻速直線運動

A.30° B.45° C.60° D. 90°

解析引入摩擦角，從b端看過去的平面如圖6所示，易知摩擦角φ=tan-1μ=30°，當導體受到的安培力FA垂直于軌道對ab的作用力時，FA取值最小，又磁場與FA垂直，故磁場與導軌夾角是60°.

反思摩擦角可以簡化問題，避免力的一一表達，讓解題思路更加清晰.

借助摩擦角解決某類問題要比常規方法簡單快捷，尤其是當學生對三角函數公式不太熟練時.引入摩擦角，借助動態的三角形的方法，尋找滿足題目要求的極值，在一定程度上降低了對學生數學能力的要求.