巧建坐標系 妙解平拋問題

秦 黎

(浙江省紹興市第一中學 312000)

學生在研究物體沿直線運動的問題時，通常能夠正確進行受力分析，建立直角坐標系，然后解決問題.然而當學生遇到曲線運動時，由于物體的運動軌跡不在坐標系上，學生就會不知所措，不能正確的將速度和加速度分解到坐標系上，獨立地考慮這兩個方向上的分運動.

例1 如圖1所示，一小球自傾角θ=37°的斜面頂端A以水平速度v0=20 m/s拋出，小球剛好落到斜面的底端B(空氣阻力不計)，求小球在平拋運動過程中離開斜面的最大高度h.

評析本題中，由于要求離開斜面的最大高度，所以可以建立如圖2所示坐標系，將初速度v0和重力加速度g分別進行分解，則在x軸和y軸方向分別獨立地做勻變速直線運動.在y軸方向，vy=0時，物體在y軸方向的分位移最大，實際運動的軌跡距離斜面最遠.

根據(v0sinθ)2=2gcosθ·h可以求得距離斜面的最大高度.

例2一斜面傾角為θ，A、B兩個小球均以水平初速度v0水平拋出，如圖3所示.A球垂直撞在斜面上，B球落到斜面上的位移最短，不計空氣阻力，則A、B兩個小球下落時間tA與tB之間的關系為( ).

A．tA=tBB．tA=2tB

C．tB=2tAD．無法確定

評析該題目可以根據斜面傾角的正切值法求解落在斜面上的平拋運動相關問題，但較為繁瑣.如果學生能夠巧妙建立坐標系，發散思維，將會使題目簡化，讓學生豁然開朗.

由題意，B球落到斜面上的位移最短，說明B的位移方向垂直于斜面.以此對B球建立如圖4所示坐標系,將B的初速度v0和加速度g分解到x軸

則B球沿著x軸方向位移為零：

由于A球垂直撞在斜面，將A的初速度v0和加速度g分解到x軸所以x軸方向的分速度為零，即

0=v0cosθ-gsinθ·tA

所以tB=2tA

例3 如圖5所示傾角為37°的光滑斜面上，一小物塊從距離地面高度為6.25m處靜止下滑，一個半徑R=2.5m的光滑圓軌道同時與斜面和地面相切，問：

(1)小物塊能否到達圓軌道的最高點

(2)求小物塊從最高點平拋后到撞擊斜面所用時間

評析第(1)問答案：小物體恰能到達圓軌道的最高點，最高點的水平速度為5m/s.解析略

第(2)問，小物塊從到達最高點開始做平拋運動，由于撞擊斜面時速度大小和方向不詳，小物體撞擊斜面的位置也不詳.如果該題改變斜面傾角，或者改變小物體初始高度，那么問題更具有一般性.學生針對這類問題，往往束手無策.如果能巧妙建立坐標系，以不變應萬變，那么不管多么復雜的運動，都能夠迎刃而解.

如圖6所示，以最高點為原點，垂直于斜面向下建立一維坐標系.將水平速度v0和g分解到x軸.則小物塊無論水平速度有多大，在x軸方向做的都是勻加速直線運動，根據合運動與分運動的等時性，小物塊撞擊斜面的時間均與沿x軸方向運動到斜面的時間相等.

由幾何關系位移x=R+Rcosθ

若改變條件，仍然可以采用此方法巧妙建立坐標系，得到最高點到撞擊斜面的時間，以時間為突破口，此類問題就變得容易了.

綜上所述，在解決平拋運動的問題時，巧妙建立坐標系，將速度和加速度進行分解，然后獨立地解決各個方向的運動情況，思路清晰，行之有效，可以迅速解決較復雜的計算題，起到事倍功半的效果.筆者僅是從運動學的相關問題進行了例析，其他動力學的相關問題等也可以通過巧妙建立坐標系，另辟蹊徑.