向量解題策略之“無中生有”

雷亞慶

(江蘇省南京市大廠高級中學 210044)

一、無中生“三角形”

例1(2010浙江理數)已知平面向量a，b(a≠0,a≠b)滿足|b|=1，且a與b-a的夾角為120°，則|a|的取值范圍是____.

問題轉化為：△OAB中，已知OB=1，∠OAB=60°，求邊OA長的取值范圍.

圖1

設∠OBA=θ(0°<θ<120°),

因為0°<θ<120°,所以0

反思根據向量減法的幾何意義將題設條件表示在三角形中，利用解三角形即可迎刃而解.

二、無中生“圓”

例2(2013年高考湖南卷(理))已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( ).

圖2

解析如圖2,將a,b移至同起點O，因為a·b=0，所以有a⊥b.以O為起點，以表示a,b的兩條有向線段所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系.

∵a,b是單位向量,∴a=(1,0),b=(0,1).

設c=(x,y)則c-a-b=(x-1,y-1).

由|c-a-b|=1可得：(x-1)2+(y-1)2=1.

即答案為A.

反思本題首先利用坐標法將向量問題轉化為代數問題，再利用幾何意義轉化為求圓上一點到原點的距離的最大最小問題，從而使問題順利解決.

三、無中生“平行四邊形”

圖3

四、無中生“中線”

(x1-1)(x2-1)+y1y2=3③.

①+②+③×2得：(x1+x2)2-2(x1+x2)+(y1+y2)2+2=19,