一類雙曲線型目標函數(shù)最大值的求法

楊冬成

(江蘇省鹽城機電高等職業(yè)技術(shù)學校 224000)

一、引言

在高中數(shù)學課程學習中，我們會接觸到解析幾何中的雙曲線內(nèi)容，雙曲線是平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線，它也可以被定義為與兩個固定點的距離差是常數(shù)的點的軌跡.在高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容中，函數(shù)知識內(nèi)容包含了多種類型的函數(shù)形式，比如三角函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、多元函數(shù)以及雙曲函數(shù)等，其中雙曲函數(shù)就是一種常用的函數(shù).在求解雙曲線型目標函數(shù)最大值的過程中，利用線性規(guī)劃的解題思想，可以得到在非線性約束條件下，關(guān)于非線性目標函數(shù)最值的求法.本文研究的就是一類非線性目標函數(shù)中雙曲線型目標函數(shù)的最大值求法.通過具體的實際例子進行相應(yīng)的分析.

解析根據(jù)題目中給出的不等式組，利用相關(guān)工具作出其所表示的平面區(qū)域，如下圖1所示，其中的陰影部分代表不等式組的平面區(qū)域.

圖1

在該種類型的題目中，首先要根據(jù)題目中給出的不等式組作出其表示的相應(yīng)的平面區(qū)域，將題目中的目標函數(shù)進行相應(yīng)的變形為雙曲線型目標函數(shù)，再利用線性規(guī)劃的解題思想，對題目進行分析，進而求得該目標函數(shù)的最大值.

二、利用雙曲線的切線性質(zhì)求解相關(guān)函數(shù)的最大值

當坐標進行平移或者旋轉(zhuǎn)的時候，其不會改變點、線之間的位置關(guān)系，對于點與點、點與線以及線與線之間的距離也不會改變.關(guān)于雙曲線的有關(guān)性質(zhì)，其包含以下兩個定理：

如對例2 函數(shù)的求解.

解析首先我們先來分析一下這道題的兩個錯誤解法.

圖2

錯解2 按照線性規(guī)劃相關(guān)的解題思路進行分析，當雙曲線經(jīng)過三角形的頂點時，該目標函數(shù)能夠取得最大值.

當雙曲線經(jīng)過三角形的點A(-2，8)時，目標函數(shù)z=xy=-16；

當雙曲線經(jīng)過三角形的點B(4,2)時，目標函數(shù)z=xy=8；

當雙曲線經(jīng)過三角形區(qū)域的點C(2,6)時，目標函數(shù)z=xy=12.因此目標函數(shù)z=xy的最大值為12.

在高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容的學習中，函數(shù)內(nèi)容對于整個高中階段數(shù)學的學習而言具有關(guān)鍵性的作用，它對于后續(xù)數(shù)學相關(guān)知識的學習具有很好的鋪墊作用.在高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容中存在著一類非線性目標函數(shù)——雙曲線性目標函數(shù)，在求解雙曲線型目標函數(shù)最大值的過程中，利用線性規(guī)劃的解題思想，可以得到在非線性約束條件下，關(guān)于非線性目標函數(shù)最值的求法.通過對非線性目標函數(shù)的最大值的求解，可以有效地幫助學生開闊數(shù)學視野，教師在高中數(shù)學教學的過程中，要多引導學生對于雙曲線型目標函數(shù)最大值求解的學習，讓學生能夠理解并熟練掌握非線性目標函數(shù)的相關(guān)解題思路，通過不斷訓練學生的數(shù)學解題思維，提高學生的數(shù)學解題能力.