一類雙曲線型目標函數最大值的求法

楊冬成

(江蘇省鹽城機電高等職業技術學校 224000)

一、引言

在高中數學課程學習中，我們會接觸到解析幾何中的雙曲線內容，雙曲線是平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線，它也可以被定義為與兩個固定點的距離差是常數的點的軌跡.在高中數學函數內容中，函數知識內容包含了多種類型的函數形式，比如三角函數、常數函數、對數函數、多元函數以及雙曲函數等，其中雙曲函數就是一種常用的函數.在求解雙曲線型目標函數最大值的過程中，利用線性規劃的解題思想，可以得到在非線性約束條件下，關于非線性目標函數最值的求法.本文研究的就是一類非線性目標函數中雙曲線型目標函數的最大值求法.通過具體的實際例子進行相應的分析.

解析根據題目中給出的不等式組，利用相關工具作出其所表示的平面區域，如下圖1所示，其中的陰影部分代表不等式組的平面區域.

圖1

在該種類型的題目中，首先要根據題目中給出的不等式組作出其表示的相應的平面區域，將題目中的目標函數進行相應的變形為雙曲線型目標函數，再利用線性規劃的解題思想，對題目進行分析，進而求得該目標函數的最大值.

二、利用雙曲線的切線性質求解相關函數的最大值

當坐標進行平移或者旋轉的時候，其不會改變點、線之間的位置關系，對于點與點、點與線以及線與線之間的距離也不會改變.關于雙曲線的有關性質，其包含以下兩個定理：

如對例2 函數的求解.

解析首先我們先來分析一下這道題的兩個錯誤解法.

圖2

錯解2 按照線性規劃相關的解題思路進行分析，當雙曲線經過三角形的頂點時，該目標函數能夠取得最大值.

當雙曲線經過三角形的點A(-2，8)時，目標函數z=xy=-16；

當雙曲線經過三角形的點B(4,2)時，目標函數z=xy=8；

當雙曲線經過三角形區域的點C(2,6)時，目標函數z=xy=12.因此目標函數z=xy的最大值為12.

在高中數學函數內容的學習中，函數內容對于整個高中階段數學的學習而言具有關鍵性的作用，它對于后續數學相關知識的學習具有很好的鋪墊作用.在高中數學函數內容中存在著一類非線性目標函數——雙曲線性目標函數，在求解雙曲線型目標函數最大值的過程中，利用線性規劃的解題思想，可以得到在非線性約束條件下，關于非線性目標函數最值的求法.通過對非線性目標函數的最大值的求解，可以有效地幫助學生開闊數學視野，教師在高中數學教學的過程中，要多引導學生對于雙曲線型目標函數最大值求解的學習，讓學生能夠理解并熟練掌握非線性目標函數的相關解題思路，通過不斷訓練學生的數學解題思維，提高學生的數學解題能力.