探究(An+B)·qn型數列前n項和的求法

王蘭靈

(廣東省廣州大學附屬中學 510006)

設數列{an}為等差數列，數列{bn}為等比數列，則數列cn=an·bn可以化為cn=(An+B)qn的形式，為了方便，我們不妨稱之為差比數列.差比數列的求和是數列模塊的重難點，常用的方法是錯位相減法、裂項相消法和待定系數法.筆者在教學中發現求差比數列的前n項和，除以上三種方法外，還可以用導數去解決.本文先對常用的三種方法進行系統地分析，提出了一些便于操作的方法技巧，最后再探究導數解法，供讀者參考.

兩式相減，得：

解法2(裂項相消法)設存在常數x、y使得：

將解法2推廣到一般情況，對于差比數列(An+B)·qn(其中A、B、q為常數，且q≠0,q≠1)，必然存在常數x、y使得(An+B)·qn=[x(n-1)+y]·qn-1-(xn+y)·qn，證明方法與上題類似，計算等式右邊，再結合代數恒等式即可求得x、y的值.通常，當01時，我們采用(An+B)·qn=[(x(n+1)+y]·qn+1-(xn+y)·qn進行裂項.為了便于記憶，類比函數的記號f(x)，我們記f(A,B,n)=(An+B)·qn,f(x,y,(n-1))=[(x(n-1)+y]·qn-1,f(x,y,n)=(xn+y)·qn.如此，當01時，f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n).

點評裂項相消法的關鍵是把差比數列的通項公式正確裂項，所以，記住裂項公式f(A,B,n)=f(x,y,(n-1))-f(x,y,n)或f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n)尤為重要.從計算量而言，裂項相消法略小于錯位相減法，故裂項相消法的正確率會略高于錯位相減法.

差比數列前n項和公式的證明：

已知數列{an}的通項公式是an=(an+b)·qn-1，求數列{an}的前n項和Sn.

Sn=(a+b)×1+(2a+b)×q+(3a+b)×q2+…+((n-1)a+b)·qn-2+(na+b)×qn-1①,

qSn=(a+b)×q+(2a+b)×q2+(3a+b)×q3+…+((n-1)a+b)·qn-1+(na+b)×qn②.

點評待定系數法公式屬于錯位相減法的衍生形式，需要學生熟記該公式，計算量相對較小，有計算便捷的優勢，適合做選擇和填空等小題目，不大適合做解答題.

解法4(導數法) 在解原例題之前，我們先看一個更為簡單的例子，求數列an=n·2n-1(n∈N+)的前n項和Tn.

導數法是否適合一般的差比數列求和呢？答案是肯定的，簡單證明如下：

設數列{an}為首項a1，公差為d的等差數列，數列{bn}為首項是b1，公比為q(q≠1)的等比數列為，且cn=an·bn,Sn是數列{cn}的前n項和，求Sn.

解由題意得an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1(q≠1)

在求差比數列前n項和Sn的時候，我們可以根據題型選擇解題方法.選擇填空題，我們可以選擇待定系數法，解答題我們有錯位相減法、裂項相消法和導數法可以選擇.導數法雖然不常見，但是它用函數思想解決了數列問題，體現了函數的工具價值.我們在教學過程中，不能僅僅滿足于現有的教學成果，更要注重知識的聯系和拓展，多鼓勵學生大膽猜想結論和方法，引導他們親歷從猜想到論證的探究過程，由此發展學生的探究能力和邏輯推理能力，同時也為我們的教學帶來更多的精彩.《學記》有言：“學然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自強也.”學生常反思學習，可發現不足，激發求學動力；教師常反思教學，可以取得新的突破，提升教學能力.