探究(An+B)·qn型數(shù)列前n項(xiàng)和的求法

王蘭靈

(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué) 510006)

設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，則數(shù)列cn=an·bn可以化為cn=(An+B)qn的形式，為了方便，我們不妨稱之為差比數(shù)列.差比數(shù)列的求和是數(shù)列模塊的重難點(diǎn)，常用的方法是錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法和待定系數(shù)法.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)求差比數(shù)列的前n項(xiàng)和，除以上三種方法外，還可以用導(dǎo)數(shù)去解決.本文先對(duì)常用的三種方法進(jìn)行系統(tǒng)地分析，提出了一些便于操作的方法技巧，最后再探究導(dǎo)數(shù)解法，供讀者參考.

兩式相減，得：

解法2(裂項(xiàng)相消法)設(shè)存在常數(shù)x、y使得：

將解法2推廣到一般情況，對(duì)于差比數(shù)列(An+B)·qn(其中A、B、q為常數(shù)，且q≠0,q≠1)，必然存在常數(shù)x、y使得(An+B)·qn=[x(n-1)+y]·qn-1-(xn+y)·qn，證明方法與上題類似，計(jì)算等式右邊，再結(jié)合代數(shù)恒等式即可求得x、y的值.通常，當(dāng)01時(shí)，我們采用(An+B)·qn=[(x(n+1)+y]·qn+1-(xn+y)·qn進(jìn)行裂項(xiàng).為了便于記憶，類比函數(shù)的記號(hào)f(x)，我們記f(A,B,n)=(An+B)·qn,f(x,y,(n-1))=[(x(n-1)+y]·qn-1,f(x,y,n)=(xn+y)·qn.如此，當(dāng)01時(shí)，f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n).

點(diǎn)評(píng)裂項(xiàng)相消法的關(guān)鍵是把差比數(shù)列的通項(xiàng)公式正確裂項(xiàng)，所以，記住裂項(xiàng)公式f(A,B,n)=f(x,y,(n-1))-f(x,y,n)或f(A,B,n)=f(x,y,(n+1))-f(x,y,n)尤為重要.從計(jì)算量而言，裂項(xiàng)相消法略小于錯(cuò)位相減法，故裂項(xiàng)相消法的正確率會(huì)略高于錯(cuò)位相減法.

差比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的證明：

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(an+b)·qn-1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

Sn=(a+b)×1+(2a+b)×q+(3a+b)×q2+…+((n-1)a+b)·qn-2+(na+b)×qn-1①,

qSn=(a+b)×q+(2a+b)×q2+(3a+b)×q3+…+((n-1)a+b)·qn-1+(na+b)×qn②.

點(diǎn)評(píng)待定系數(shù)法公式屬于錯(cuò)位相減法的衍生形式，需要學(xué)生熟記該公式，計(jì)算量相對(duì)較小，有計(jì)算便捷的優(yōu)勢(shì)，適合做選擇和填空等小題目，不大適合做解答題.

解法4(導(dǎo)數(shù)法) 在解原例題之前，我們先看一個(gè)更為簡(jiǎn)單的例子，求數(shù)列an=n·2n-1(n∈N+)的前n項(xiàng)和Tn.

導(dǎo)數(shù)法是否適合一般的差比數(shù)列求和呢？答案是肯定的，簡(jiǎn)單證明如下：

設(shè)數(shù)列{an}為首項(xiàng)a1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為首項(xiàng)是b1，公比為q(q≠1)的等比數(shù)列為，且cn=an·bn,Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Sn.

解由題意得an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1(q≠1)

在求差比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的時(shí)候，我們可以根據(jù)題型選擇解題方法.選擇填空題，我們可以選擇待定系數(shù)法，解答題我們有錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法和導(dǎo)數(shù)法可以選擇.導(dǎo)數(shù)法雖然不常見，但是它用函數(shù)思想解決了數(shù)列問(wèn)題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具價(jià)值.我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，不能僅僅滿足于現(xiàn)有的教學(xué)成果，更要注重知識(shí)的聯(lián)系和拓展，多鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想結(jié)論和方法，引導(dǎo)他們親歷從猜想到論證的探究過(guò)程，由此發(fā)展學(xué)生的探究能力和邏輯推理能力，同時(shí)也為我們的教學(xué)帶來(lái)更多的精彩.《學(xué)記》有言：“學(xué)然后知不足，教然后知困.知不足，然后能自反也；知困，然后能自強(qiáng)也.”學(xué)生常反思學(xué)習(xí)，可發(fā)現(xiàn)不足，激發(fā)求學(xué)動(dòng)力；教師常反思教學(xué)，可以取得新的突破，提升教學(xué)能力.