小議三角知識教學中學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

☉江蘇省常熟滸浦高級中學 李艷華

早在2014年教育部印發(fā)《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，要求課程改革亟需向著學生德智體全面發(fā)展的要求進行，并在2017年初頒布了各學科的具體核心素養(yǎng).就數(shù)學學科而言，數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面的核心素養(yǎng)成為一線教學亟待關注的，課堂教學和解題教學恰恰是兩大重要載體.讓數(shù)學核心素養(yǎng)在這樣的情境中落地，才能真正體現(xiàn)一線教學的重要價值.

三角函數(shù)是歷年高考考查的重點內容，主要考查以下三個方面：解三角形問題、三角函數(shù)圖像及其性質、三角函數(shù)中公式的靈活運用.三角函數(shù)又是一類基本的重要函數(shù)，在數(shù)學和其他科學以及生產(chǎn)實踐中都有廣泛的應用.因此，不論從應試還是學習的可持續(xù)性來看，三角函數(shù)的教與學都相當重要.下面筆者就高考真題中的部分與三角函數(shù)有關的考題來談談核心素養(yǎng)在三角函數(shù)教學中的滲透.

一、數(shù)學運算素養(yǎng)

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則來解決數(shù)學問題的過程.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.它是數(shù)學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學結果的重要手段.

但隨著信息技術的發(fā)展、知識容量的增加、學生能力關注點的轉移，運算能力似乎正愈來愈為人們所忽視.比如三角函數(shù)解答題常年盤踞在我省高考解答題的第一題，被許多老師視為送分題，但就是這樣的“送分題”成了許多學生拿不到高分的痛點.

例1已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

分析：本題主要考查三角函數(shù)的定義、誘導公式、兩角和與差公式的靈活應用，同時考查運算求解能力.

解：（Ⅰ）由角α的終邊過點，得sinα=，所以

師生分析此題的“失分”時往往捶胸頓足，將其原因歸為公式記錯、粗心大意：三角函數(shù)的定義忘記了，誘導公式的口訣記錯了，兩角和與差公式只會套用而不會拆角、變角等，其實這都是忽視運算素養(yǎng)的一種表現(xiàn).

數(shù)學運算素養(yǎng)有四個層次的要求：運算結果的準確性——這是最基本的要求；運算的合理性——它是運算素養(yǎng)的核心；運算的熟練性——它是對考生思維敏捷性的考查；運算的簡捷性——它是運算合理性的標志，反映了思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性.

只有清楚這四個層次的要求，才會發(fā)現(xiàn)表象背后能力素養(yǎng)的欠缺：不總結公式的規(guī)律性導致背錯公式、運算缺乏準確性，不會推導公式導致不理解公式存在的合理性，不會靈活變通導致運算欠缺熟練性，不理解公式的普遍性導致運算不夠簡捷.

教學設想：

筆者認為，在三角函數(shù)的考查之中，運算素養(yǎng)乃是六大數(shù)學核心素養(yǎng)的重點，要解決三角函數(shù)公式的不熟練、不變通等問題就應當從教學環(huán)節(jié)入手，并查找原因.以下是筆者根據(jù)運算素養(yǎng)的四個層次的要求設計的三角函數(shù)公式的教學大框架，主要有四大環(huán)節(jié)，分別對應四個層次的不同要求：

（1）回歸定義：在高中，任意角的三角函數(shù)得到了擴展，而其后的公式也都基于任意角范圍，因此，任意角的三角函數(shù)的定義是基礎也是前提，不掌握定義而只套用公式，是舍本逐末.有了三角函數(shù)的定義，才能準確理解三角函數(shù)是如何完成幾何到代數(shù)的轉變.

（2）梳理生成：有了定義，所有的三角公式就有了立根之本，由定義式到基本關系式，到誘導公式，到兩角和與差公式，再到倍半角公式，都可以一一展開，在推導這些公式的過程中，可以見證知識的生長與生成，理解這些公式存在的合理性和意義，找到理解記憶這些公式的脈絡，進而達到熟練的程度.

（3）靈活變形：三角公式不僅多而且活，不僅需要梳理脈絡，還需要恰當變形，以適應解題的需求，因此，往往需要從問題出發(fā)，聯(lián)系已知與未知，對公式進行合理變形以解決新問題.比如二倍角公式又常常轉化為降冪公式和升冪公式，從功能的角度來找到公式變形的合理性.

（4）理解變通：任何公式都應具備普適性，三角公式也不例外，也就是說，三角公式中的變量——角度，它是可變的，但它只變其形不變其質.公式本身的結構、功能及規(guī)律是不變的，所以掌握公式的變與不變性尤為重要，這樣才能讓我們的計算達到簡化的目的.

四個教學環(huán)節(jié)達成相應的教學目標，也對應了運算素養(yǎng)的四個不同層次的落地，抓住解題時出現(xiàn)的問題，找準是哪個教學環(huán)節(jié)的不穩(wěn)固，就能針對性地加強對應的運算素養(yǎng)，希望能帶給大家一點啟發(fā).

二、直觀想象素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述來分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

例2已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

分析：這是一個立體幾何題，立體幾何的基本解題思路是降維處理，將空間的點線面問題轉化到二維平面的三角形中加以解決，最后的解題落腳點就到了三角函數(shù)的知識范疇內.

解：（1）∠SEO即為SE與平面ABCD所成的角θ2，BC是平面ABCD內的一條線，由線面角的最小角特征可知θ2≤θ1.

（2）如圖1所示，取AB的中點M，則∠SMO即為二面角S-AB-C的平面角tanθ2，所以有θ2≤θ3.

（3）如圖2所示，過點O作AB的平行線PQ，過點E作BC的平行線，交PQ于點N，易證∠SEN即為θ1，由SN≥SO，EN=MO，而可知θ≤θ，故選D.31

圖1

圖2

此題中，空間到平面的轉化，角度到正切函數(shù)的轉化，正切函數(shù)到平面線段的轉化，整個思路的根本立足點是理解三角函數(shù)的性質在平面三角形中的直觀體現(xiàn).

在立體幾何中求空間角及空間距離曾因經(jīng)歷了空間向量的洗禮，變成機械的運算而失去了美感，近年來又逐漸降溫回歸到用傳統(tǒng)的降維思路求解，提升了空間思維水平，降低了計算要求.這其中提升的實質是把空間要素平面化，非常重要的一點就是要構造平面三角形，利用解三角形的方法或是三角函數(shù)的性質來解決最后一步，但很多學生重視平面化過程，卻忽視了利用三角函數(shù)知識解決問題的最后一步.

其實利用三角函數(shù)解題不只體現(xiàn)在立體幾何之中，在解析幾何、平面向量甚至數(shù)列等綜合問題中，我們都可以看到三角函數(shù)在發(fā)揮作用，課堂教學時，教師應當引導學生在這些綜合問題中去發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的重要性，而不只是把眼光放在做好高考解答題的第一題上.

三角函數(shù)是和解析幾何、立體幾何、數(shù)列等高中數(shù)學知識同等重要的部分，六大核心素養(yǎng)都可以在三角函數(shù)的教學過程中找到合適的呈現(xiàn)方式，在此，筆者僅以兩種不同的考查方式舉例說明三角函數(shù)作為基礎函數(shù)應特別加以重視的兩大核心素養(yǎng).