相等向量的“困擾”與教學實踐研究

☉江蘇省溧水高級中學 李國林

在一些教學中，不難發現有些老師對向量的教學是存有疑問的.向量作為一個運算體系，不僅具備圖形的直觀性也具備數的抽象性，這讓大家無所適從.本文將從教學中體現出來的一些與向量相關的問題進行思考.

一、相等向量的“困擾”

向量相等這一概念使得很多初次接觸向量的人無法對平行或者共線作出區分，但這樣定義，保障了向量在幾何構建中的基礎作用，而且是必不可少的.

1.運算需要方面

代數運算中，合并和化簡是不可或缺的，且基本元的選擇多為實數、單項式.在向量幾何中，可將空間中某一向量看成運算的基本元，但這樣是非常復雜的.所以為了讓運算基本元更簡便，可以這樣定義向量變換的不變性：①平移不會改變其本身；②數乘不改變共線.也就是說空間內兩個任意的平行或共線的向量，可以這樣理解：②反向或者伸縮得到的結果是①.因此，“非零代表”（基底）可以線性地表達三維空間內任意的一組平行向量.這樣運算基本元也就變得更加簡便了.

2.知識內部的和諧方面

相等向量的概念是了解向量加法中的三角形法則和平行四邊形法則的基礎；通過平行四邊形法則可以證明向量的交換律“c=a+b=b+a”；向量減法運算的意義可以從“a+（-b）”的幾何意義中得出；可以這樣說，若沒有相等向量，就無法將向量差的坐標表示與其幾何意義聯系起來.

有這樣一個問題：向量中的“基本定理”有何意義？

數學中的“基本定理”都具備一個里程碑的作用，就比如代數基本定理：每個次數≥1的復系數多項式在復數域上至少有一根，這個定理對我們分解多項式、求方程的根都有很大的幫助.我們將從這樣兩個方面來展現向量“基本定理”的作用.

（1）“基底”是其中心思想，它使運算基本元得到了很大程度的簡化，這也體現了歷代數學家的智慧.就像前面所說：①直線的基本定理是一維基向量體現共線向量；②平面的基本定理是二維基向量體現共面向量；③空間的基本定理是三維基向量體現空間向量.這三種維度的基本定理都可以最大限度地實現向量基本元的簡化.

（2）基于這三個維度的基本定理，如果能夠在圖形中選擇一個合適的基底，那么在使用向量來解答幾何問題時就會更加方便了.

二、向量教學實踐研究與思考

向量這一章很重要，但教學的任務卻僅僅停留在了解的程度，這是遠遠不夠的.向量的基本定理與其他的幾何定理并不一樣，向量中選基底的這種思想需要引起高度的重視.在某次課堂上，某位老師這樣導入向量知識：

①小明在銀行存了x元，小紅存了小明的3倍，小王存了小明的1.5倍，小吳欠別人錢，欠的錢是小明的2倍，用小明的錢來表示這三人的錢.

②平面內存在非零向量e1，則哪些向量可以用e1來表示？哪些不可以？

③可不可以加一個非零向量e2來使得平面上的所有向量都可以用e1，e2表示出來？

不難看出，問題①和②有推進關系，并且有相似之處.提出問題③時，這位老師在黑板上畫了四組圖，分別由三個互不相等且方向不同的向量e1、e2和a組成，然后再點撥學生，平移不變自身，要求學生畫出以e1、e2為鄰邊，a為對角線的平行四邊形，并算出e1、e2正向伸長或者反向縮短的系數，從而寫出a的表達式，然后由四位同學在黑板上完成.

圖1

圖2

圖3

圖4

也就是說，借助“數乘不變共線”，大部分學生可以完成平行四邊形的構造，平面的基本定理也能很快地概括出來.章建躍先生說過：基本定理中的數乘系數作為坐標λ1，（λ1，λ2），（λ1，λ2，λ3），這三者分別具有刻畫直線、平面、空間的功能，從而體現了基本定理的深化.

很多學生對于向量的掌握程度只有單純的坐標運算，而對于向量的整體運算、理解及運用都是不到位的，但整體運算對于解題是有很大幫助的.那是什么原因導致這種情況的呢？筆者認為有這兩種：

①整體運算就是把相關向量用基向量表示出來，且基向量沒有模長和方向的要求，如果把基向量的模長定為1，并要求兩兩垂直，再分離基向量的系數，去掉基本元，這就是坐標運算的原理.其實，不難看出，這兩個都是向量的定理，其中的差異是要對向量的定義有著熟練的掌握.聯系直角坐標系進行坐標運算，這些學生已經學過了，所以對于向量的運算，大家要漸漸養成用坐標運算來解決向量問題的習慣.

②學習向量也是為了在高考中解題更加方便，所以只需構建相應的直角坐標系再用向量解決立體幾何問題即可.

問題發現了，那么就要尋找解決問題的方法.解決的方法還是要從基本定理出發，逐漸深入地理解.其實整體運算可以有效解決對于某些建立坐標系較為復雜的問題.如下題：

已知四面體A-BCD（圖5），若AC⊥BD，AB⊥CD，求證：AD⊥BC.

圖5

這道題體現了在四面體中若有兩對棱垂直，那么第三對棱也互相垂直.在沒有學過向量時，只能通過構造平面，而這種方法很復雜，即使是構建坐標系也很復雜.但如果掌握了向量的整體運算，這道題便可以很快得到解決.

有同學可能會有疑問，解析幾何和向量幾何都是運用直角坐標系來解決問題，他們之間有什么異同點.

第一，解決問題的方式.不同點在于解析幾何必須在坐標系內完成，而向量不僅僅依賴于坐標系.相同點在于它們的運算過程大同小異，通過解析幾何的解題三步驟，可以得到向量幾何的解題三步驟：

（1）運用定理，將線段轉化為向量.

（2）向量進行運算，得出模長、夾角.

（3）運算結果具體成相應的幾何性質.

第二，解決的手段.解析幾何通過方程，橫縱坐標相互制約，可得到運動軌跡.向量幾何是通過向量運算，所以它的解題方法多種多樣.對于平行和三點共線的問題，解析幾何的解題是需要確定斜率和點是否在直線上，向量幾何只需要記住“數乘不變共線”即可.

有這樣一道題：如圖6，A，D，B三點在同一直線上，AB=3AD，BC=3DE，DE∥BC.證：A，E，C三點在同一直線上.

圖6

由于高考對于立體幾何向量的要求不高，所以大部分同學不會學得很透徹，如何解決學得過于片面這一問題呢？有這樣一道問題：

假設向量a=（m，1），設b=（1，2），且|a+b|2=|a|2+|b|2，則實數m=______.

上述題目是一道高考原題，只需要套用公式即可，但并不能體現向量知識的深度，這對于教師的教學來說也是一種阻礙，若想激發學生的學習興趣，讓學生從心底去學習才能真的學得好.

其實解析幾何與向量都是有解題技巧的，若教師對向量的教學加以重視，并且掌握向量解題的技巧，便可以大大加快解題速度，何樂而不為呢！