借助數學文化，落實核心素養

☉江蘇省常熟市王淦昌中學 蔣志學

一、問題的提出

在《普通高中數學課程標準（2017年版）》一文中，對應“課程基本理念”部分第一次創新性地提出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養.”

教育部考試中心函件《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》要求“增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極的導向作用.比如，在數學中增加數學文化的內容.”

那么怎樣在核心素養的氛圍下將數學文化與數學知識相結合？又是怎樣在數學文化的背景下，借助數學文化來落實相應的核心素養呢？本文選取典型樣題加以深度解讀.

二、問題的解決

1.在數學文化中培養與提升數學抽象能力

例1我國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題（意為）：“有一個人要走378里路.第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地.”問此人第4天和第5天共走的路程是______.

解析：記每天走的路程里數為{an}，由題意可知{an}是公比的等比數列，由解得a1=192，所以36，故此人第4天和第5天共走了36里.

故填答案：36里.

點評：根據數學文化提供的資料加以數學抽象，把相關的知識轉化為對應的數學模型——等比數列，根據等比數列對應的知識來分析并解決相應的數學文化問題.高考中經常會有此類以數學文化為問題背景，通過數學抽象，轉化為相應的數學知識與問題來分析、處理與解決.

2.在數學文化中培養與提升邏輯推理能力

例2（2019屆河南鶴壁市期末）我國古代著名的數學著作有10部算書，被稱為“算經十書”.某校數學興趣小組甲、乙、丙、丁四名同學對古代著名的數學著作產生濃厚的興趣.一天，他們根據最近對這十部書的閱讀本數情況說了這些話，甲：“乙比丁少.”乙：“甲比丙多.”丙：“我比丁多.”丁：“丙比乙多.”他們說的這些話中，只有一個人說的是真實的，而這個人正是他們四個人中讀書本數最少的一個（他們四個人對這十部書閱讀本數各不相同）.則甲、乙、丙、丁按各人讀書本數由少到多的排列是______.

解析：假設甲說的是真話，則另外三人說的都是假話，從而得到“乙比丁少”、“甲比丙少”、“丙比丁少”、“丙比乙少”，甲、乙、丙、丁按各人讀書本數由少到多的排列是：甲丙乙丁，符合題意；

假設乙說的是真話，則另外三人說的都是假話，從而得到“丙比乙少”，不合題意；

假設丙說的是真話，則另外三人說的都是假話，從而得到“丙比丁多”，不合題意；

假設丁說的是真話，則另外三人說的都是假話，從而得到“丙比丁少”，不合題意.

故填答案：甲丙乙丁.

點評：借助數學文化提供問題背景，結合對相關命題的判定與推理來解決邏輯推理問題.高考中經常會有此類以數學文化為問題背景，巧妙設置問題，通過邏輯推理來進行分類與整合，并利用正確的推理論證來判斷.

圖1

3.在數學文化中培養與提升數學建模能力

例3沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖1）.在一個圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處漏到另一個圓錐中.假定沙子漏下來的速度是恒定的.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐中漏到另一個圓錐中需用時10分鐘.那么經過5分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）______.

解析：由于時間剛好是5分鐘，且為總時間的一半，而沙子漏下來的速度是恒定的，所以漏下來的沙子是全部沙子的一半，下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，所以可以單獨研究下方圓錐.下方圓錐被沙子的上表面分成體積相等的兩部分，所以

圖2

點評：以沙漏這個具有數學文化的圓錐體為問題背景，結合圓錐的體積、高等關系來分析與處理問題.高考中經常會有此類以數學文化為問題背景，通過進行合理的數學建模，構造對應的數學模型，再借助數學模型的知識來分析與解決問題.

4.在數學文化中培養與提升直觀想象能力

例4孔明鎖，也叫魯班鎖，是廣泛流傳于中國民間的智力玩具，起源于古代中國建筑中首創的榫卯結構.圖3是六柱孔明鎖，由6根相同的開槽（即榫卯結構）的正四棱柱組合而成.圖4的邊長為1的正方形網絡中粗線畫出的是該六柱孔明鎖的正視圖，則該六柱孔明鎖的表面積為______.

圖3

圖4

解析：由六柱孔明鎖的正視圖知，投影面積為10×4+2×3×2=52，而六柱孔明鎖的所有表面共有6個投影組成，所以該六柱孔明鎖的表面積為52×6=312.

故填答案：312.

點評：借助數學圖形的分析、歸納并加以直觀想象，明確得出六柱孔明鎖的所有表面是由6個投影面所組成的，每個投影面都與正視圖中的投影面相吻合，進而總結并歸納出規律加以破解.

5.在數學文化中培養與提升數學運算能力

例5《孫子算經》是我國古代的數學著作，其卷下中有類似如下的問題：“今有方物一束，外周一匝有四十枚，問積幾何？”如圖5是解決該問題的程序框圖，若設每層外周枚數為a，則輸出的結果為_______.

圖5

解析：根據程序框圖，開始時a=1，S=0，n=1，此時滿足條件a≤40；

執行循環體，S=0+1=1，n=1+1=2，a=8×2-8=8，此時滿足條件a≤40；

執行循環體，S=1+8=9，n=2+1=3，a=8×3-8=16，此時滿足條件a≤40；

執行循環體，S=9+16=25，n=3+1=4，a=8×4-8=24，此時滿足條件a≤40；

執行循環體，S=25+24=49，n=4+1=5，a=8×5-8=32，此時滿足條件a≤40；

執行循環體，S=49+32=81，n=5+1=6，a=8×6-8=40，此時滿足條件a≤40；

執行循環體，S=81+40=121，n=6+1=7，a=8×7-8=48，此時不滿足條件a≤40，結束循環，輸出S的值為121.

故填答案：121.

點評：借助數學文化中的相關問題，巧妙設置算法的程序框圖，利用程序框圖的運行，并結合數學運算及邏輯判斷來設置問題.數學運算與數學文化的碰撞，往往會產生非常美妙的歷程，從而形成考查知識、提升能力的良好問題.

三、感悟與反思

以數學文化為問題背景來考查相應的數學核心素養，既落實了知識要求，又提供了能力要求，因此越來越受到命題者的青睞，而這也是高考中的一大熱點問題，要引起我們的高度重視.

巧妙地借助數學文化，并以數學文化為問題背景，結合數學學習中所提供的數學核心素養，其實就是要求我們在實際解決此類問題時要具備相應的核心知識、基本技能與基本技巧，以及與之相關的數學運算能力、邏輯推理能力、抽象與想象能力和解決問題時的思維方式與基本模式.