“立本求真”的數學教學的實踐思考

☉江蘇省南京市六合區程橋高級中學 杜明浩

很多數學教師對于構建本真靈動課堂的本質、核心、思維方式都進行了思考與研究，具備靈動生命氣象的數學課堂教學能夠為學生的自由思想與獨立思考提供足夠的空間.本文結合三節課堂教學的簡錄與片段進行了設計與實施本真靈動的數學課堂教學的思考.

一、適當留白以保障學生的思考、感悟與歸納

案例一：《數列通項公式的求法》教學片段

引入：由裴波拉契數列引出數列遞推公式的概念并明確數列學習的重點與核心.

知識回顧1：已知數列{an}中，a1=1，an+1=an+2，則an=______.

在學生集體作出回應之后，請一位學生闡述具體的思維過程，復習舊知識的同時引導學生思考可以求和的原因，以及可以求和的式子的特征，請學生自主創造可以求和的練習并自主解題.

已知數列{an}中，a1=1，______，則an=______.

筆者聽課之時正好坐在了四位學生中間，觀察到的創造如下.生甲：an+1+2=an+4，生乙：an+1-an=2n-1，生丙：anan-1=n，生丁勉強寫出了Sn=2n-1但未能解題.筆者認為他的想法實際上與生甲是類似的，由此可見，部分學生已經具備了一定的變通能力.

教師投影出了生1的成果：an+1-an=2n.師生共同檢查了書寫過程，引導學生檢驗n=1是否滿足上式，并感悟歸納出an+1-an=f（n）型（可求和）可用疊加法，并對學生作出了驗證首項的提示.

知識回顧2：已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an，則an=______.

引導學生解決本題并觀察出相乘可以上下相消這一原理，請學生構造并提醒學生思考可以運用此法求解的題目.

已知數列{an}中，a1=1，______，則an=______.學生創造的結果如下：生甲：an+1=-an，生乙2n，生丙：，生丁

拓展探究1：已知數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2，求an.

教師引導學生解決并探究此題，從而歸納出an+1=pan+c型適用待定系數法.

拓展探究2：已知數列{a}中

n，求a.n

思考題：已知數列{an}中，求a.n

拓展探究3：已知數列{an}中，a1=1，Sn=2an-1，求an.

生3在一定的思考后進行了思路板演：n≥2，an=2an-1，檢驗了a2=2a1（a1≠0）后得到比式.引導學生重視檢驗條件并歸納概括：Sn=pan+q→和項轉化成遞推公式以后再進行處理.

思考題：已知數列{an}中，a1=1，an+1=2Sn，求an.

學生對n=1時的檢驗記憶深刻，但對于式子的約束表現出了一定的忽視，教師進行一定的分析并引導學生共同總結本課所得.

二、創造游戲以彰顯本真

案例二：《基本不等式》教學片段

教師與學生各持紙牌三張，每人任選一張進行大小的比較，但比較大小需要按照教師定下的規則進行：將任選的紙牌上的數字分別記作a，b，選定后進行大小的比較，隨時記錄每一次的比賽戰績

學生興致勃勃地與教師進行了游戲，在大量的實際游戲數據獲得與教師的引導下抽象出了（當且僅當a=b時等號成立）這一結論.教師引導學生對自己歸納出的結論進行了證明，學生運用到的方法有比較法、綜合法、幾何法等，自主得出結論又進行證明的過程令學生感到緊張而開心.

三、學生主體與教師主導的融合令學習成為了一種享受

案例三：試卷講評片段

題目在△ABC中，∠A=120°，AB=4，若點D在BC邊上，且，則AC的長是______.

教師在此題的講評之初，首先請了一位在此類題上經常犯錯的學生來介紹解題思路，其解題過程如下，解出，即

師：這種解法如何？

生1：這是常規解法.

師：可還有其他方法？

生1：坐標法.以A為原點建立直角坐標系并將B置于x軸上，畫圖求解.設，則，解得，所以，所以AC=3.

生2：將C置于x軸正半軸上也能得到B點的坐標，然后由向量相等的關系即可得到D點的坐標.設C（x，0），由得所以D點坐標為，故，即x2-2x-3=0，解得x=3，x=-1（舍），所以AC=3.

圖1

生3：直接用余弦定理也可求得AC.如圖1，設CD=x，AC=y，則BD=2x，由cos∠CDA=-cos∠ADB，可得，兩式聯立解得y=3，即AC=3.

師：很好，能想到這一解法，說明基本功很扎實.

圖2

生4：我覺得根據向量關系可以直接求出很多條邊，我是這樣解的：如圖2所示，作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，因為D是BC邊上靠近C的三等分點，AB=4，所以.因為DE∥AC，∠EAC=120°，所以∠AED=60°.所以，即化簡可得AC2-2AC-3=0，故AC=3.

師：這個解法能不能有個專屬名稱呢？

眾生：幾何法.

圖3

生5：我的解法應該也是幾何法，不過有點不同.如圖3所示，構造平行四邊形ABEC，連接AD并延長交CE于F，作EG∥AF交AB于G，可得G為AB的中點，F為CE的中點，由△CDF∽△BDA，得，由EC∥AB，AF∥EG，得四邊形AGEF為平行四邊形，則

師：大家想出的方法都很好，以后遇到類似問題時，請大家運用自己擅長的方法大膽求解，也請大家在課后對此類題的解題方法進行整理并再次消化.

豐富學生知識，發展學生思維，提升學生素養，培養學生的理性精神并讓學生具備發現問題與解決問題的能力是數學教學的最根本目標.李善良博士所提倡的“把精彩留給學生”就是給學生創造更多的空間，使學生能夠在適當的留白、游戲中獲得對數學思想方法的感悟.

因此，教師應善于把握教學的規律與學生的認知特點，應善于順應學生的思想意識并使學生在有意義的數學活動中獲得經驗的積累，使學生在自主建構數學知識的過程中獲得思維的拓展，使學生在“立本求真”的數學教學中養成良好的探究意識與習慣并因此喜歡上數學，享受數學學習的過程.