一道函數零點問題的處理策略

☉陜西省靖邊中學 馬海生

對于函數的零點個數及所在區間的問題，最讓學生和教師感到頭疼的是如何來尋找合理且有效的點a與點b，使得（fa）·（fb）＜0.其實，這類問題還是有規律可循的，只要我們能逐步探索出其規律，就能找到行之有效的方案，本文就如何取點a與b作一探討，讓零點問題不再神秘.

【知識概要】

零點存在定理：如果函數y=f（x）的圖象是一條連續不斷的曲線，若f（a）·f（b）＜0，則函數在區間（a，b）上至少存在一個零點.

思路1：直接取點

思路2：放縮取點

有時我們可以通過對給定的函數表達式進行放縮，然后再取特殊點來進行判斷.放縮的手段通常有：利用常見的不等式；對表達式的一部分進行放大或縮小；在某種限制條件下放縮等.

思路3：調整取點

我們先選取一個值來進行判斷，如果可行則萬事皆休；如果不可行，則可以在這個值上作出一些調整再去判斷，如此下去，總能找到一個可行的值出來.

題目：已知函數

試問：過點P（0，2）可作多少條直線與曲線y=f（x）相切？并說明理由.

分析：設過點P的直線l與曲線y=f（x）相切于點Q（x0，f（x0）），

因為切線過點P（0，2），

先對g（x）求導，可得

分類討論：

①當a≤0時，g′（x）＜0，函數y=g（x）在（0，+∞）上單調遞減，y=g（x）至多只有一個零點.

猜測函數只有一個零點，現在去尋找兩個值m，n，使g（m）＜0，g（n）＞0.

所以取x=e即滿足條件.

②當a＞0時，由

即g（x）在區間上單調遞減，

由lnx≤x-1＜x，可得

然后，猜測函數有兩個零點，現在只需要找m和n，使得

換個角度，使alnx-a-2=0，則

令x，此時，還是不對，有可能小于零！那么呢，行嗎？

事實告訴我們，還是不行！那么問題出在哪兒？真的不能這樣處理嗎？

進一步改進！顯然分母是一次多項式已經不可行了，調整為二次！

對h（x）求導，可得故h（x）在區間（0，+∞）上單調遞增.

所以h（x）＞h（0）=0，結論成立.

變題：已知a∈R，求函數f（x）=2x-alnx-a-2的零點個數.

分析：先對函數求導，可得

分類討論：（1）當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

所以f（x）的零點個數至多有一個.

所以f（x）在（0，+∞）上有且只有一個零點.

（2）當a＞0時，令f（′x）=0，得

判斷函數有兩個零點！現在找m，n，使得n，且f（m）＞0，f（n）＞0.

先取特殊值，令n=ea，則，且有（fe）a=2ea-a2-a-2，可證得f（ea）＞0.

考慮令-alnx-a-2=0，則

所以當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有兩個零點.

方法總結：對于此類難題的處理，一般沒有現成的規律和方法可循.我們只能通過一些手段去探求問題的正確思路.比如：①化歸，嘗試著將問題轉化為一個我們較為熟悉的問題或者是另外一種表達方式，看看是否有益于尋找正確的解題思路；②結合已知的表達式，弄清影響函數取值的主要因素，合理且有效地去猜測、驗證、調整、再驗證，必要的話，不斷重復這樣的過程；③結合常見的不等式去放縮，看看是否對解題有所幫助；④聯想以前是否有過類似的問題，當時的解法是否有用或者改進后是否有用.通過這些手段，總能使問題得到解決.