關(guān)于動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的探析與總結(jié)

☉陜西省榆林中學(xué) 馬 寧

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，在歷年的高考中均有考查，該部分內(nèi)容的考題形式也較為多樣，涉及多種類型的問題，其中動(dòng)直線過定點(diǎn)問題是較為特殊的一種.由于所涉及的直線的圖像的不確定性，從而存在諸多分析上的難點(diǎn)，需要采用對(duì)應(yīng)的解題策略來破解，本文將以一道動(dòng)直線過定點(diǎn)的問題為例，開展解題探析，思考并總結(jié)，以期與讀者交流.

一、問題引出，實(shí)例探析

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，也是高考數(shù)學(xué)壓軸題的重要組成部分.因此在學(xué)習(xí)時(shí)需要關(guān)注圓錐曲線的規(guī)律性知識(shí)，并從中總結(jié)問題類型、簡(jiǎn)化解題技巧和解題策略.“動(dòng)直線過定點(diǎn)”問題是圓錐曲線中較為特殊且廣泛存在的一類問題，其特殊之處在于直線會(huì)圍繞著某一定點(diǎn)發(fā)生位置變化，圍繞該特點(diǎn)的同時(shí)也衍生出了眾多的考題，如求證動(dòng)直線恒過定點(diǎn)、求解動(dòng)直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)及動(dòng)直線過定點(diǎn)的條件等，下面對(duì)一道實(shí)例加以探析.

考題：已知橢圓C的方程為，對(duì)應(yīng)的離心率為，橢圓C與x軸的交點(diǎn)分別為A2（2，0），試回答下列問題：

（1）試求橢圓C的方程；

（2）現(xiàn)有一直線l，其解析式為x=t（t>2），且與x軸相交于點(diǎn)T，而點(diǎn)P是直線l上異于點(diǎn)T的一點(diǎn)，連接PA1、PA2，設(shè)其分別與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，然后連接MN，試分析直線MN是否經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F？并加以證明.

思路剖析：（1）該問求解橢圓C的方程，實(shí)際上是求a和b的值，題干中給出了橢圓的離心率，以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，因此可以基于這兩者與參數(shù)的關(guān)系來求解.

（2）該問設(shè)定了直線l的解析式，以及與橢圓C的交點(diǎn)，聯(lián)立直線A1M與橢圓的方程，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系可確定交點(diǎn)M的坐標(biāo)，并推知點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線MN的方程，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)變形并分析可以確定直線MN是否經(jīng)過焦點(diǎn)F.

問題詳解：（1）已知橢圓C的離心率為，即e=.橢圓C與x軸的交點(diǎn)實(shí)際上就是橢圓在x軸上的頂點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的值就是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，即a=2，所以，從而可以確定橢圓C的方程為

（2）如圖1，設(shè)直線PA1和PA2與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（x1，y1）和N（x2，y2），設(shè)直線A1M的斜率為k1，直線A2N的斜率為k2，則直線A1M可表示為y=k1（x+2），聯(lián)立橢圓C和直線A1M的方程整理可得，其中-2和x1是上述方程的兩個(gè)根，因此由根與系數(shù)的關(guān)系可知，所以對(duì)應(yīng)的所以點(diǎn)M的坐標(biāo)可表示為同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

圖1

由直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)P（t，yP）在直線l上，又，所以.所以.又直線MN的方程為，令y=0，可得x=，即直線MN與x軸的交點(diǎn)為又t＞2，所以.又橢圓C的右焦點(diǎn)為（，0），所以要確保直線MN經(jīng)過該點(diǎn)，則，解得，即當(dāng)時(shí)，直線MN過橢圓的右焦點(diǎn)F.

二、解后思考，總結(jié)歸納

另外，對(duì)于點(diǎn)P的特性也可以采用如下方式：首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A1和點(diǎn)A2的坐標(biāo)表示出直線PA1、PA2的方程，然后與橢圓的方程聯(lián)立，進(jìn)而表示出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，最后分析直線MN所過定點(diǎn)的條件，即采用“點(diǎn)1→直線→聯(lián)立方程→點(diǎn)2”的解題思路.

上述考題屬于考查動(dòng)直線過定點(diǎn)的條件探析題，由于直線所經(jīng)過的兩點(diǎn)均為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，從而造成直線的位置發(fā)生變化.因此求解時(shí)需要建立與已知條件的關(guān)系，一般有兩種方式：一是直接對(duì)動(dòng)直線的方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，以獲得定點(diǎn)的坐標(biāo)；二是間接建立起參數(shù)之間的關(guān)系，而上述考題采用的就是后一種方式.另外解題時(shí)需要注意一些細(xì)節(jié)和關(guān)鍵點(diǎn)，下面進(jìn)一步加以探究.

1.關(guān)于解題過程的思考

上述試題的難度主要集中在第（2）問上，基本的思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，用相關(guān)參數(shù)來表示點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo).在該過程中有兩個(gè)細(xì)節(jié)需要注意：一是考慮到點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為聯(lián)立方程組的一個(gè)解，故可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合同類坐標(biāo)的變換將點(diǎn)M的坐標(biāo)簡(jiǎn)化表示.二是在推導(dǎo)點(diǎn)N的坐標(biāo)時(shí)，需要充分考慮x1前的系數(shù)，可采用類比代換的方式直接獲得.綜合上述細(xì)節(jié)可極大地減少計(jì)算量，從而提高解題效率，這也是簡(jiǎn)化該類問題過程的常用方法.

2.關(guān)于解題關(guān)鍵點(diǎn)的思考

考題中已知橢圓的方程及幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的幾何關(guān)系，求證動(dòng)直線MN所過的定點(diǎn)，解題過程中采用聯(lián)立方程，并用動(dòng)點(diǎn)表示的思路.而在解題分析時(shí)存在幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是點(diǎn)M和點(diǎn)N的表示方式，二是點(diǎn)P的處理.前者結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)與方程根的關(guān)系來構(gòu)建，后者則充分考慮到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn)P既位于直線A1M上，也位于直線A2N上，因此可以構(gòu)建兩條直線的斜率關(guān)系

三、問題拓展，方法總結(jié)

動(dòng)直線過定點(diǎn)問題是圓錐曲線中具有一定難度的試題，除了上述研究成立的條件，證明動(dòng)直線必過定點(diǎn)也是其中常見的類型，考慮到圓錐曲線中的動(dòng)直線是由含參的點(diǎn)的坐標(biāo)來控制的，因此其直線方程必然含有一個(gè)或兩個(gè)參數(shù).

對(duì)于含有一個(gè)參數(shù)的動(dòng)直線，則該參數(shù)不能只位于截距上；而對(duì)于含有兩個(gè)參數(shù)的動(dòng)直線，則需要根據(jù)已知條件來求解出兩參數(shù)之間的關(guān)系.因此求證動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的關(guān)鍵是分析參數(shù)之間的關(guān)系，從而構(gòu)建出動(dòng)直線的方程.針對(duì)直線的參數(shù)有如下兩種解題方法：

方法一：用單一參數(shù)來表示直線方程，在考慮參數(shù)取值的情況下直接求解定點(diǎn)坐標(biāo).

例1如圖2，已知橢圓C的方程為，過點(diǎn)A（0，1）作兩條互相垂直的直線l1，l2分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，試證明：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

解析：設(shè)直線l1的方程為y=kx+1，l1與l2互相垂直，則直線l2的方程為，聯(lián)立橢圓C與直線l1的方程整理可得（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0（舍去）或，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為用點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)可以表示出直線MN的方程為，分析可知直線MN恒過定點(diǎn)

方法二：用兩個(gè)參數(shù)來表示直線方程，根據(jù)題設(shè)條件分析參數(shù)關(guān)系，直接確定定點(diǎn)坐標(biāo).

例2已知拋物線的解析式為y2=4x，過拋物線上一點(diǎn)P（1，2）作兩條射線PA和PB，分別交

拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B，已知，連接A、B兩點(diǎn)，試證明直線AB恒過定點(diǎn).

證明：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立直線AB和拋物線的方程，整理可得ky2-4y+4b=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得由，可得（x-1，y-2）·（x-1，y-2）=0，化簡(jiǎn)后可

1122得b=2-k或b=-2-5k.

當(dāng)b=2-k時(shí)，直線AB的方程為y=k（x-1）+2，此時(shí)直線恒過點(diǎn)（1，2）；

當(dāng)b=-2-5k時(shí)，直線AB的方程為y=k（x-5）-2，此時(shí)直線恒過點(diǎn)（5，-2）.

綜上可知，直線AB恒過定點(diǎn).

四、教學(xué)建議

1.關(guān)注解題過程，重視教學(xué)引導(dǎo)

動(dòng)直線過定點(diǎn)問題是一類較為特殊的問題，需要學(xué)生掌握該類問題的解題思路和與之對(duì)應(yīng)的解題方法，包括模型構(gòu)建的過程、步驟簡(jiǎn)化的技巧及問題轉(zhuǎn)化的方式.因此，教學(xué)中除了需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題、圈畫關(guān)鍵詞，還需要在上述基礎(chǔ)上從題干中提取關(guān)鍵信息，理清圖像結(jié)構(gòu).教學(xué)時(shí)可以采用設(shè)問、追問的方式，如對(duì)解題中的關(guān)鍵步驟展開追問，引導(dǎo)學(xué)生思考思路構(gòu)建的緣由，拓展解題思維，并為后續(xù)的多解探究奠定基礎(chǔ).

2.注重解后反思，強(qiáng)化解題拓展

考題的價(jià)值不在于解題本身，而在于通過解題掌握同類型題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、方法策略，因此開展解題教學(xué)，除了需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題剖析，還需要開展問題的解后反思.在反思中幫助學(xué)生梳理解題的整體思路，通過回顧解題過程來明晰解題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)題干條件和結(jié)論的關(guān)聯(lián)認(rèn)識(shí).另外，在解題反思過程中還需注重考題的拓展探究，包括類題剖析和解法拓展，使學(xué)生明晰類題之間的差異及解法之間的區(qū)別.解后反思是一個(gè)學(xué)習(xí)交流的過程，在這個(gè)過程中可以深化學(xué)生對(duì)考題的理解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升.