“相約”平面直角坐標系

☉江蘇省宜興市官林中學 李俊峰

☉江蘇省宜興市官林中學 蔣 敏

數學世界浩瀚如海，代數幾何變幻無窮，解析幾何架起橋梁，數形結合化險為夷.在每一道數學問題的內部都存在著一定的條件和關系，要想對其攻克，應觀察其具體特征，認真分析、思考、探究，在細致、透徹、深入的透視中，把握問題的內涵與本質，從而確定解題思路，找到解題方法，欲知故事如何發生，讓我們“相約”平面直角坐標系.

一、攻克平面幾何證明題

平面幾何證明一向是個難點，難就難在輔助線的添加，而解析幾何的“加入”，能讓我們免去添加輔助線的煩惱，有例為證！

例1如圖1所示，在?ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，連接AE，AF交BD于G，H.求證：H，G三等分BD.

圖1

分析：建立平面直角坐標系，

證明：以A點為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，如圖2所示，設B（b，0），D（a，c），則C（a+b，c）.

圖2

連接AC交BD于點M，可知G、H分 別 為 △ABC及△ACD的重心，由此可得在第一象限內畫出圖形，寫出直線BD、AE、AF的方程，最后，求出直線AE、AF與BD的交點坐標，不難發現，這涉及比較麻煩的運算過程.基于此，能否探尋一條路徑來簡化運算呢？已知E，F都是中點，通過中點聯想并運用與之相關的幾何性質，我們就可以開辟出一條新的解題路徑.

由兩點間的距離公式可得：

即H、G三等分BD.

評注：欲證線段三等分，即證三線段相等.幾何問題代數化，建立平面坐標系.重心坐標來聯系，算出長度看關系.距離公式顯神奇，算得長度都一致.

二、巧求函數的最值

有關函數的最值問題或許我們會覺得不難，可遇到兩個根號里含有自變量的函數時，往往叫人“情以何堪”，這時，解析幾何就幫了我們大忙！

例2求函數的最值.

分析：函數表達式是點到直線的距離公式的一部分，于是考慮利用坐標法來解本題.

解：將原函數改造為，將其中理解為動點到直線x-y+2=0的距離即可.不難得出動點的軌跡為單位圓的上半部分，如圖3所示，原函數的最小值即為原點到直線x-y+2=0的距離與單位圓的半徑之差的倍，即，而最大值為點（1，0）到直線x-y+2=0的距離的倍，即

圖3

評注：函數值域有點難，含有根號難上難.外面還有絕對值，叫人看了直犯難.抓住特征巧變換，挖出“廬山真面目”.距離公式來相助，世上“一物降一物”.

三、妙證根式不等式

說到不等式的證明，給人的感覺就是“有點難”，采用代數推理的方法來證明或許會叫人“寸步難行”，而聯想到有關代數式的幾何意義，卻能使人“豁然開朗”.

例3已知a，b，c，d都是實數，求證

分析：仔細觀察此題的外在形式，可以得出要證的結論式的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式.

證明：不妨設A（a，b），B（c，d），如圖4所示，

圖4

在△OAB中，由三角形三邊之間的關系可知：

|OA|+|OB|≥|AB|，當且僅當O在線段AB上時，等號成立.因此

評注：三個根式來“結義”，三個“距離”顯本質.一張圖形現眼前，一目了然明道理.三角形與不等式，原來它們有關系！有了關系好證題，披荊斬棘奪勝利！

四、征服實際應用題

考查數學知識的實際應用能力是數學高考永恒的主旋律.當我們在面對實際問題時，如果能想到建立解析幾何模型來求解，那么或許我們已經打開了一扇通向成功的大門.

例4路燈桿底座和一房子的樓梯口相距14m，路燈桿與房子正中間有一個半徑為3m的半球形建筑物.問：路燈應裝多高才能照到房子的樓梯口？

分析：路燈桿太矮則不能照亮樓梯口，太高會造成浪費，其高度只要能照亮樓梯口就行.此題求解的關鍵在于建立合適的坐標系.以過路燈桿底座A和樓梯口Q兩點的直線為x軸，以線段AQ的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，并以O為圓心，3為半徑畫圓，然后過樓梯口Q作圓的切線，過路燈桿底座A作x軸的垂線并交切線于點P，則線段AP就是路燈桿的最小高度.

圖5

解：如圖5所示，取半球的球心為坐標原點，路燈桿底座A和樓梯口Q所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則半球形建筑物的橫截面半圓的方程為x2+y2=9，y≥0，過樓梯口Q作圓O的切線l，切點為B，路燈P（-7，h），樓梯口Q（7，0），切線l：y=k（x-7），即kx-y-7k=0，這里k＜0.圓心O到切線l的距離，解得k2=.故得切線l的方程為.為了使路燈能照到樓梯口Q，路燈P（-7，h）不能位于直線l的下方，即要求即路燈的最低高度為m時才能照亮房子的樓梯口.

評注：直線與圓的方程，堪稱解析幾何之基本.放眼火熱的生活，解析幾何模型處處有.燈桿貌似一線段，半球截面是半圓.它們相約坐標系，精彩故事來演繹.

五、收服平面向量題

平面向量本是數與形的統一體，將平面向量坐標化，可將其轉化為代數問題，此時平面直角坐標系功不可沒.

例5已知共面向量a，b，c滿足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b-c|.若對每一個確定的向量b，記|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，則當b變化時，dmin的最大值為______.

分析：平面向量的最值問題，一般可通過建立目標函數，從而轉化為函數的最值問題.

解：固定向量a=（3，0），則向量b，c分別在以（3，0）為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運動，其中，如圖6所示，易得點B的坐標為（rcosθ+3，rsinθ）.

圖6

整理可得r2-2rcosθ-3=0，即

而|b-ta|（t∈R）的最小值為dmin，

評注：向量最值何處求，數形結合來探究.坐標系里畫出圓，幾何意義在眼前.模是向量的長度，也是兩點的距離.三角代數齊上陣，函數式中最值現.

解析幾何貴在用，善用才是真英雄.抓住特征巧聯想，坐標系里做“文章”.