例談立體幾何教學中素養的滲透

☉安徽省靈璧縣第一中學 朱 松

立體幾何作為培養學生的空間想象能力及幾何直觀能力的重要工具，一直以來都是中學數學的重要組成部分，它作為高中數學的必修內容，充分展現了學生的空間思維和直觀想象能力.在高考中，立體幾何章節不僅出現在解答題（直觀想象和數學運算均能體現）中，在客觀題或填空題中也反復出現.尤其在高考數學的小題中，更加注重從幾何角度來區別學生的思維層次，也真正體現了數學學科中的直觀想象的核心素養.

雖然近幾年的高考要求我們從幾何角度來關注學生的思維發展，但是學生依然不能夠明確地把握立體幾何的基本知識點，而且在平時的教學中，教師往往會注重向量法或者建立空間直角坐標系來解決問題，而忽略了幾何的本質教學.在立體幾何中，異面直線所成的角、線面角及二面角通常是考查的重點，而在空間幾何體中找到這些角往往也是學生最為薄弱的環節.本文以近幾年的立體幾何高考真題為例，一方面，從代數的角度出發，淺談數學運算素養的滲透與發展；另一方面，談談如何從幾何的角度來解決點線面問題，這也是對學生直觀想象素養的培養.

一、數學運算素養——建系

例1（2018年浙江卷19）如圖1所示，已知多面體ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1；

（2）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

圖1

分析：本題中給出了幾何體中的許多信息，其中∠ABC=120°，可能在建立空間直角坐標系時造成一定的干擾，如何來建系呢？還是要準確地找到對應邊來確定x軸，y軸，z軸.因為A1A垂直于平面ABC，所以A1A⊥AC，現在只需要找到既垂直于A1A，又垂直于AC的直線，就可以建立空間直角坐標系，因此各點坐標也能夠相應得到，依據定理，若計算得到與平面A1B1C1中任意兩相交向量的數量積均為零，即可證明第（1）問的結論；在第（2）問中，運用坐標求出平面ABB1的法向量n，由平面幾何中的三角函數知識即可得出結論.

說明：第（1）問依據的是課本中的基本定理：若平面α外一條直線l垂直于平面內兩條相交直線，則直線l垂直于平面α，而這里建立坐標系的方法并不唯一，可以用AC的中點作為坐標原點，還可以用C點作為坐標原點；第（2）問是直線與平面所成角的問題，最后歸結為直角三角形中三角函數值的問題.

當下的立體幾何教學出現了模式僵化的困擾，即建系在很多學生的頭腦中已經根深蒂固，這是解決立體幾何甚至平面幾何問題最暴力高效的辦法，值得掌握并熟練化.當然，有些幾何體在建系的時候非常麻煩，這就要求我們必須從幾何的角度去解決問題，空間幾何平面化是我們解決這類問題的手段，凸顯了幾何直觀能力，是我們應該關注的重點，也是高考復習中的要點.

二、直觀想象素養——空間幾何平面化

AC1，這樣即為所求角的正弦值.

例2（2018年浙江卷8）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點），設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則（ ）.

我們仍以例1中的第（2）問為例，觀察在不建系的情況下，從純幾何的視角來找出線面角：因為A點在平面上，找直線與平面所成的角只需要過C1作平面的垂線C1D，連接AD即可構造出一個直角三角形ADC1，這樣要求的角就轉化為求∠C1AD，利用已知條件求出C1D和

圖2

分析：本題考查的是必修二中立體幾何的核心內容：異面直線所成的角、線面角及二面角，解決問題的關鍵是能夠準確地找到這些角，通常的做法是將這些空間角轉化為平面角.如圖2所示，E是AB上任意一點，首先要找到θ1，可將BC邊向左平移，使得B與E重合，且EC1與BC平行，∠SEC1即為θ1，因為SE=SC1，取EC1的中點F，可知△SFE是直角三角形，且；若設正方形ABCD的中心是點O，則SO⊥平面ABCD，此時△SOE是直角三角形，且線面角θ2=∠SEO，即；平面SAB與平面CAB的交線是AB，根據二面角的定義，可知SG⊥AB，OG⊥AB，其中G是AB的中點，所以θ3=∠SGO，且△SOG是直角三角形，所以.我們將三個空間角平面化后進行了量化，比較它們之間的大小只需要知道它們之間的量化關系即可.因為OG=EF，且SO≤SF，所以，即θ≤θ；又OG≤OE，所以31，即θ≤θ.所以選D.23

說明：作為客觀題來說，如果選擇建系來量化幾何圖形中的各種關系，那就會花費大量的時間，而從幾何的角度來看這一題，就是考查異面直線所成的角、線面角和二面角，解決問題的關鍵是準確地找到這些角，使立體幾何平面化，通過找到其對應關系，也就找到了問題的答案.本題還可以從最小角定理等秒殺技巧出發，留給讀者自己思考，此處不再贅述.

例3（2017年浙江卷9）如圖3，已知正四面體DABC（所有棱長均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖3

圖4

分析：本題考查的是在正三棱錐中二面角的關系，抓住核心要素：點、線、面，首先找出二面角的平面角.如圖4所示，點P、Q、R在同一平面內，點D在平面上的投影為點O，過點O分別作OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，則，現在只需比較OE、OF、OG的大小即可.在正三角形ABC中，將P點移到AB的三等分點P′處，此時三角形P′RQ也是正三角形，容易得知OF＜OG＜OE，所以選B.

例4（2015年浙江卷8）如圖5所示，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD翻折成△A′CD，所成二

面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

圖5

分析：翻折前與翻折后圖形有何變化？本題主要考查二面角的性質，如何準確找到二面角是解題的關鍵.如圖5所示，作AE⊥CD，BF∥CD，且AE∩CD于點E，AE∩BF于點F，顯然α=∠A′EF.不妨設DE=a，AE=b，A′F=c，則.所以cos∠A′DB≤cosα.所以α≤∠A′DB，所以選B.

說明：本題是翻折問題，在翻折中需要注意哪些是不變量，哪些是變化量，然后準確找出二面角的平面角，抓住這兩點，也就抓住了這類問題的關鍵.

總之，本文從兩個角度來反映核心素養在數學教學中的體現，計算能力是代數能力體現的重要環節.在立體幾何中，若選擇向量方式，則運算能力成為首要提高的素養，若選擇幾何方式，加強直觀想象素養的教學則是關鍵，所以數學運算素養和直觀想象素養在高中立體幾何的學習中是相輔相成的.

立體幾何在高中數學中是難度系數較大、題型較為復雜的章節，又是集中培養與考查空間想象能力和思維能力的重要部分.因此解決這類問題，知識點的牢固掌握是基礎，思維的發散、解題方法的靈活運用是關鍵.從以上例題中我們可以發現，建系并不是解決立體幾何問題的萬能鑰匙，有時反而會增加解題的難度，如何打破思維定式，回歸幾何本身，尋找更恰當的方法，這些在立體幾何教學中變得日益重要.