函數值域問題的方法探究與思考

☉浙江師范大學附屬中學 周建平

函數是高中數學中基礎性強、特征顯著的知識內容，也是高考數學重難點問題命制的落腳點，教材編排了大量的章節對其進行描述與探討.其中函數值域的求解是需要著重掌握的知識點，值域即取值范圍，研究函數的值域不僅是函數性質探討中必不可少的環節，也是強化學生的法則運用與助力學生知識的內化吸收的重要載體.下面對其解法加以探究思考.

一、函數值域問題的解法例說

求解函數值域是高中數學中較為特殊的一類問題，雖然很少獨立存在，但綜合問題的求解卻難以避免.學生在解題時很容易出錯，陷入誤區，但實際上該類題的解法較為簡易，只需要進行適當地歸納整理即可.對于不同類型的函數值域問題需要使用不同的方法，即根據函數的特點選用對應的解法.

1.單調性法

單調性是函數的重要性質之一，對于函數f（x），若自變量x在增大（或減小）時，函數值f（x）也隨之增大（或減小），則函數f（x）在其對應區間上具有一定的單調性，此時就可以使用單調性法來探究函數的值域，解題時只需要確定函數的端點值即可.

例1若x∈（0，π），試求函數的值域.

分析：上述函數屬于復合三角函數，可以適當加以變形，令t=sinx，則定義域為（0，1］，原函數變為g（t）=t+，屬于“”型，該類型的函數具有一定的單調性，可以使用單調性法加以探究，首先分析其單調性，然后討論其取值范圍.

解：令t=sinx，則原函數變形為對于函數，當t∈（0，2）時，函數在區間上單調遞減，當t∈（2，+∞）時，函數在區間上單調遞增.所以當區間為（0，1］時，函數單調遞減，且當t=1時，函數g（t）取得最小值5；當t趨近于0時，函數f（t）取得最大值，且為正無窮大，即的值域為［5，+∞）.

總結：使用單調性法求解值域時具有一定的特點限制，即所求函數必須為單調函數，此時才可以利用端點值來確定值域.

2.換元法

換元法是數學解題的常用方法之一，同樣適用于求函數的值域問題，即將函數中的變量部分加以代換，從而構建出與之等價的函數，通過研究等價函數的值域來間接求解.需要注意的是換元思路有多種方式，常見的有整體換元、局部換元、三角換元，需根據具體的函數特征來加以確定.

例2試求函數的值域.

分析：上述函數含有根號，相對而言不便直接進行計算，此時可以考慮采用局部換元的方式將根號消除，如令，此時有

總結：函數的換元法是一種簡化變形的方式，因此在換元的過程中需要保證函數的本質不變，包括函數的定義域，上述過程在換元后特別對其自變量的取值加以定義，以確保換元前后的等價關系.解題時使用換元策略是為了達到簡化的目的，常見的有消除根號、分數、高次項等.

3.配方法

我們在學習二次函數及其圖像時可知二次函數的頂點一般是函數的最值，位于頂點坐標的兩側的函數具有單調性，這是二次函數的特性.而在解題時可以考慮借用該性質，即通過配方的形式將原函數變形為二次函數，然后借用二次函數的性質來進行求解.顯然該方法的關鍵是正確配湊出二次方程，然后等價轉換為y=a（xm）2+n的形式.

例3已知x∈［-2，5］，f（x）=x2-4x+1，試求函數y=f（x）的值域.

分析：觀察可知原函數中含有二次項，顯然可以通過配方法轉化為y=a（x-m）2+n的形式，其中a的符號決定函數圖像的開口方向，且在x=m處必然取得函數的最值.

解：對原函數進行配方變形，可得f（x）=（x-2）2-3，顯然當x=2時，函數取得最小值，且最小值為-3.對于其最大值則需要比較x=-2和x=5兩種情形下f（x）的值，分析可知當x=-2時，函數取得最大值，且最大值為13，所以原函數的值域為［-3，13］.

總結：配方法是借用二次函數的性質來求解函數值域的一種方法，常見的配方形式為：對于y=ax2+bx+c（a≠0）的形式，可將其配方為.而在求解非頂點取值的大小時可以采用距離比較法，如在上述問題中頂點的橫坐標為x=2，顯然x=-2與頂點的距離較大，故在x=-2處取得最大值.

4.數形結合法（幾何意義）

函數值域題屬于代數研究的范疇，一般可將其化歸為代數問題，而代數問題具有一定的抽象性，高中數學在研究抽象問題時常采用數形結合的方式，即繪制直觀的圖像，通過數形結合的方式來求解.因此對于一些較為特殊的函數值域問題，可以考慮通過適當轉換，繪制出相應的圖像，結合其幾何意義來分析.

例4試求函數的值域.斜率的方式，即，顯然可以將原函數視為求動點（cosx，sinx）到定點（2，3）的斜率，而動點（cosx，sinx）又滿足單位圓的軌跡方程，因此可以繪制出相應的圖像，則問題又轉換為求解圓上一點到定點（2，3）連線的斜率的取值范圍問題.

圖1

解：根據上述分析繪制出如圖1所示的圖像，通過觀察可知當圓上一點與定點的連線與圓相切時可以取得最值，設切線的方程為y-3=k（x-2），要滿足與圓相切，則需圓心O到直線的距離為1，結合點到直線的距離公式可得，解得，所以函數的值域為

分析：觀察函數的結構特點，聯想已知兩點求直線

總結：數形結合法是高中數學中十分重要的解題方法，求解函數值域問題時采用該方法需要從函數本身的特征形式入手，結合其圖像或幾何意義來繪制圖形，然后利用圖像的直觀性來解題.上述例題就是利用圖像的特點，將問題轉化為斜率的取值范圍問題，并結合圖像來簡化求解.

二、函數值域問題的解后思考

函數值域問題是高中數學中的基礎性問題，從上述對應的問題中可以看出所用的方法與函數本身的形式有著極大的關聯，解題時需要根據函數的特點和構建方式來靈活選用.教師在教學中需要關注以下幾點：

1.關注問題的多解性

函數值域問題的求解方法是多種多樣的，不同問題可能存在多種解法，并不是說“一題對一法”，只是同一問題的不同解法具有不同的復雜度.在高考解題時倡導最優解法，但在平時的學習或教學中則需要關注一題多解，多解探究不僅可以提升解題能力，而且在探究過程中可以幫助學生全面認識問題，并發掘問題的本質內容.另外對于拓展學生的解題思維有著極為重要的意義.

2.關注問題的定義域

從上述問題的解法探究中可以發現函數的定義域在值域的求解過程中起著極為關鍵的作用，在不考慮定義域的情形下開展函數值域的探究是沒有任何意義的，也是容易出錯的.需要注意的是，即使是題干中沒有明確指出其定義域，但在變形轉化過程中也需要加以考慮，重新分析新自變量的取值.如例2在求解函數值域時，變形后重新考慮了t的取值范圍，確保了函數轉換后的等價變形.

3.關注解題的思想

數學解題的過程從來都不是單純的簡單變形與運算，其中必然蘊含著一定的數學思想，是在數學思想的指導下開展的解題探究.對于有關函數值域問題，運用各種方法對其進行變形簡化，則其中必然含有化歸與轉化思想，所形成的新函數是在數學構造思想的指導下完成的，而采用數形結合方法求解函數值域必然涉及常見的數形結合思想.因此，可以說求解函數值域問題的過程就是多種思想方法融合運用的過程，解題基于思想，思想決定過程.教師在教學過程中需要關注數學思想內容的滲透，雖然數學思想較為抽象，學生理解起來會存在一定的困難，但可將其融合在與之對應的教學內容中，從而使學生逐步感悟思想，形成意識，提升能力.