高中數學競賽試題中圓錐曲線部分問題研究

☉安徽省臨泉縣第二中學 于 偉

數學是學生參加自主招生考試的重要科目，也是很多高校在自主招生復試中必考的科目之一.它不僅注重對學生數學基礎知識的考查，還注重對學生數學思維和解題技巧等方面的考查.研究數學競賽試題，對于拓寬學生的知識面，發展學生的數學思維具有重要的意義.在數學競賽試題中，圓錐曲線部分的知識是一個重要的知識點，它也是高考數學中的重要知識點.該部分知識與解析幾何相結合，為學生后續的數學學習打下基礎，同時該部分知識包含了許多數學思想和數學模型，是學生將來研究數學問題的重要依據.

一、高中數學競賽中圓錐曲線部分考題概述

通過對近幾年數學競賽試題的統計分析不難發現，圓錐曲線部分的知識占據著30分左右的分值，題型主要涉及選擇題、填空題和解答題，其考查的知識點具有一定的綜合性，涵蓋了數列、不等式、平面向量和函數等.

二、高中數學競賽試題中圓錐曲線部分例題分析

1.涉及圓錐曲線基本性質類的相關問題

圓錐曲線基本性質部分的問題是高中數學競賽試題中經常出現的問題，該部分問題的難度較小，主要考查學生的基礎知識和基本技能.在多數情況下，涉及圓錐曲線基本性質部分的考題多以選擇題和填空題的形式出現，主要考查頂點、離心率、漸近線、焦點弦和切線等方面的知識.

圖1

例1如圖1所示，一條斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，其中A，B兩點互異，且焦點在x軸上.A，B兩點的投影分別與橢圓C的兩個焦點F1和F2重合，那么橢圓C的離心率是多少？

問題分析：這道題的難度較低，在解決這一問題時，需要根據題意設出A點的坐標，然后代入橢圓=1中，再借助于離心率公式求出e.

解：設橢圓C的半焦距為c，根據題意可得點A的坐標為因為點A在橢圓C上，所以將其代入橢圓方程可得又因為，所以原式可變形為，解得，故

例2橢圓的短軸長等于多少？

問題分析：這一問題涉及圓錐曲線的極坐標方程部分的知識，該部分知識在高中數學競賽大綱的要求范圍內，但在高考數學考試范圍以外，本題主要考查學生利用圓錐曲線的極坐標方程解決圓錐曲線問題的能力.在解決這一問題時，我們可以根據離心率e和焦點參數p的幾何意義直接求出短半軸的長度.

解：因為e為離心率，p為極點到準線的距離），由

由b2+c2=a2，解得，即短軸的長度為

2.涉及軌跡類的相關問題

軌跡類問題是圓錐曲線部分的常考問題，在數學競賽中，該部分知識也是常考點，其中主要考查學生利用定義法、轉移法、參數法和交軌法等來求軌跡問題的能力.

圖2

例3如圖2所示，在△NPQ中，NP、NQ上的中線長之和為6，以PQ所在直線為x軸，以邊PQ的中垂線所在直線為y軸建立平面直角坐標系，求頂點N的軌跡方程.

問題分析：在高中數學競賽試題中，該題難度較低，學生可以利用定義法來完成此題的解答.

解：過N點分別作PE和FQ的平行線NM1和NM2交x軸于點M1和M2，其中E，F分別為NQ，NP上的中點，則.根據橢圓的定義可得，N點的運動軌跡為以和為左、右焦點的橢圓，則3，即該橢圓的方程為

3.涉及存在性的相關問題

在數學競賽中，圓錐曲線部分有關存在性的問題是一個熱門考點，該部分題型的難度較大，知識點之間的綜合性和聯系性較強，對學生的數學思想和知識應用的靈活性要求較高.一般情況下，這類問題主要涉及點是否存在、直線是否存在、參數是否存在和曲線是否存在等問題.

圖3

問題分析：這是一道典型的求點是否存在的問題，是數學競賽中的中檔難度的問題.

解：根據題意可得F2（3，0）.假設存在點M（xm，ym），使得PQ∥F1F2.因為P為△F1F2M的重心，所以P點的坐標為為△F1F2M的內心，設△F1F2M的內切圓半徑為r，則△F1F2M的面積為，則r=又因為，所以根據雙曲線的性質可得|MF1|+|MF2|=4c，|MF1|-|MF2|=2a，則|MF2|=4，根據兩點間的距離公式得=4.又因為點M在雙曲線上運動，所以有，兩式聯合解得，所以存在點，使

例5已知拋物線E：y=mx2（m＞0），與直線l：x-y+2=0相交于M，N兩點，G為MN的中點，過點G作GJ垂直于x軸，交拋物線于點J.問：是否存在實數m，使得？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.

圖4

問題分析：本題是一道關于實數根存在與否的問題，題目難度屬于中檔題型.通過題目中的已知條件我們可以知道|MN|=2|GJ|，又因為拋物線與直線相交于M，N兩點，因此，可以聯立方程組消去y，得到一個關于x的方程.根據根與系數的關系得出又因為M，N均在直線l上，則可求得G點的坐標為由此可求得J點的坐標為，最后根據兩點間的距離公式和弦長公式求出|GJ|，|MN|的值，進而可得m的值.

解：假設存在實數m，使得，設M（xM，yM）、，因為，所以又因為G為MN的中點，所以|MN|=2|GJ|.因為M、N為拋物線E和直線l的交點，聯立方程組整理可得mx2-x-2=0，根據根與系數的關系可得又因為G為MN的中點，所以，故G點的坐標為.根據題意可得，所以，根據兩點間的距離公式可得，根據弦長公式可得，解得.所以存在實數，使得

三、小結

圓錐曲線是高中數學競賽中的必考內容，該部分知識能夠與其他部分知識相結合，考查學生對數學知識的應用能力及數學思想方法的掌握情況.將圓錐曲線部分知識加以梳理，能夠有效地提高學生在數學競賽考試中的解題速度，從而提高數學考試成績.