例談“含參數(shù)的單變量不等式恒成立問題”的解題策略

☉安徽省合肥市第一中學(xué) 孔祥士

含有一個(gè)參數(shù)的單變量不等式恒成立并求參數(shù)的取值范圍問題，是高考的一個(gè)高頻考點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，通常在高考導(dǎo)數(shù)題中出現(xiàn).如何突破這個(gè)難點(diǎn)，找出解決問題的一般規(guī)律與方法呢？有很多同學(xué)對此感到非常困惑，筆者拋磚引玉，通過幾道高考試題來探尋此類問題的解題策略.

一、策略探索

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求a的取值范圍.

試題分析：（1）略.

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，只需要f（x）min≥0，但是直接求導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex（x+1）-2ax-1，再通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最小值難以做到，這就需要先對不等式f（x）≥0做適當(dāng)轉(zhuǎn)化，f（x）=x（ex-1）-ax2=x（ex-ax-1）≥0，即ex-ax-1≥0，進(jìn)而去求解問題.

策略一：將不等式f（a，x）≥g（a，x）適當(dāng)化簡后，所有項(xiàng)都移到不等號的左側(cè)，右側(cè)為0，轉(zhuǎn)化為含參數(shù)a的函數(shù)h（x）≥0，討論參數(shù)a，只需h（x）min≥0即可.

解法一：當(dāng)x≥0時(shí)，ex-ax-1≥0恒成立.設(shè)h（x）=exax-1，則h′（x）=ex-a在［0，+∞）上單調(diào)遞增，h′（x）min=h′（0）=1-a.

①當(dāng)a≤1時(shí)，h′（x）≥h′（0）=1-a≥0，所以h（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.所以只需h（x）min=h（0）≥0.又h（0）=0，所以h（x）≥0恒成立.

②當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，h（x）＜h（0）=0，不符合題意，舍去.

綜上所述：a≤1.

策略二：x∈［x0，+∞）時(shí)，f（x）≥k恒成立，若f（x0）≡k（與f（x）中的參數(shù)a無關(guān)），則必有f′（x0）≥0，進(jìn)而縮小對參數(shù)a的討論范圍，通常狀況在這個(gè)必要條件下a的范圍

例1（2010年新課標(biāo)全國卷第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2.也恰好是問題成立的充分條件.

解法二：設(shè)h（x）=ex-ax-1，則h′（x）=ex-a，注意到h（0）=0，所以要使x∈［0，+∞）時(shí)，h（x）≥0恒成立，必有h′（0）=1-a≥0，所以a≤1.

又當(dāng)a≤1時(shí)，h′（x）≥h′（0）=1-a≥0，所以h（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.所以h（x）≥h（0）=0恒成立.

綜上所述：a≤1.

策略三：不等式f（a，x）≥g（a，x）恒成立，可以分離參數(shù)和變量，轉(zhuǎn)化為a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，則只需a≤h（x）min（或a≥h（x）max）.

解法三：當(dāng)x≥0時(shí)，ex-ax-1≥0，即ax≤ex-1恒成立.

①當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，a∈R；

②當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ax≤ex-1可轉(zhuǎn)化為設(shè)，則

設(shè)φ（x）=ex（x-1）+1，則φ′（x）=xex＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.所以φ（x）＞φ（0）=0.所以＞0.所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則得，所以a≤1.

綜上所述：當(dāng)x≥0，f（x）≥0恒成立時(shí)，a≤1.

策略四：不等式f（a，x）≥g（a，x），可以適當(dāng)化簡移項(xiàng)得h（x）≥φ（a，x），即同一種類型的函數(shù)表達(dá)式移到不等號的左側(cè)，另一種類型的函數(shù)表達(dá)式移到不等號的右側(cè)，設(shè)函數(shù)y=h（x），y=φ（a，x），只需h（x）的圖像始終在φ（a，x）圖像的上方，數(shù)形結(jié)合即可得到a的取值范圍.

圖1

解法四：當(dāng)x≥0時(shí)，ex-ax-1≥0，即ex≥ax+1恒成立.分別作出函數(shù)y=ex與y=ax+1的圖像，直線y=ax+1的斜率為a，由圖易知當(dāng)a≤0時(shí)，顯然成立，又函數(shù)y=ex在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率k=y′|x=0=1，所以當(dāng)a=1時(shí)，y=ax+1與y=ex相切，所以0＜a≤1也成立，故a≤1.

二、策略應(yīng)用

例2（2015年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第12題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）.

圖2

解析：直接求導(dǎo)可得f′（x）=ex（2x+1）-a，通過討論參數(shù)a，并判斷f（x）的單調(diào)性則比較困難，因此可進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，即ex0（2x0-1）-ax0+a＜0，即ex0（2x0-1）＜a（x0-1）.設(shè)g（x）=ex（2x-1），則g′（x）=ex（2x+1），易得g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且表示斜率為a且恒過定點(diǎn)（1，0）的直線，當(dāng)a＜1時(shí)，h（0）=-a，則g（0）＜h（0），若只有整數(shù)x0=0，使得f（x0）＜0，則由函數(shù)圖像可知0＜a＜1，且g（-1）≥h（-1），易得，故選D.

例3（2016年四川高考卷第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）確定a的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.

解析：（1）略.

所以g′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g′（x）＞g′（1）=2a-1≥0.所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.所以g（x）＞g（1）=0.故時(shí)，使得在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立.

對于含有一個(gè)參數(shù)的單變量不等式恒成立并求參數(shù)的取值范圍問題，解題方法靈活多變，應(yīng)儲備多種常用的解題策略，上面四種解題策略并不是適用于所有的問題，具體問題應(yīng)具體分析，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.在平時(shí)的解題中應(yīng)該多角度探究，感受各種解法的適用條件，提升思維能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，以便準(zhǔn)確且迅速地解決問題.學(xué)習(xí)就是不斷探索的過程，品味數(shù)學(xué)，體會(huì)其中的樂趣，并感悟數(shù)學(xué)的迷人魅力.