圓錐曲線第三定義及點(diǎn)差法的應(yīng)用

☉西安交通大學(xué)附屬中學(xué) 任 棟

眾所周知，圓錐曲線的第一定義為到兩定點(diǎn)距離之和或差的絕對(duì)值為定值的點(diǎn)的軌跡為橢圓或雙曲線；第二定義為到定點(diǎn)和定直線距離之比為定值e（＜，=，＞1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓、拋物線或雙曲線.這篇文章主要講圓錐曲線的第三種定義.

圖1

若設(shè)P（x，y）為橢圓上的一點(diǎn)，（-a，0），（a，0）為其左右頂點(diǎn)，用kAB表示直線AB的斜率，其余類似，則上式的幾何意義為：

當(dāng)然上面的左右頂點(diǎn)也可以替換為上下頂點(diǎn)，事實(shí)上，只需要此兩點(diǎn)在橢圓上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可.此即為橢圓的第三定義：

1.設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓C上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)P（x，y）在橢圓C上，AP，BP的斜率分別為k1，k2，則k1k2為定值，且

證明：依題意（x2，y2）=（-x1，-y1），且點(diǎn)A和點(diǎn)P都在橢圓上，

注：（1）顯然為橢圓的離心率.對(duì)于雙曲線，只需要把橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的b2換成-b2即

2.A、B為橢圓（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)，DB⊥AB，AD交C于M，BM交以BD為直徑的圓于T，若O，T，D三點(diǎn)共線，求橢圓C的離心率e.

圖2

思路分析：由1知AM、BM的斜率乘積為定值，又由DT、BT的斜率乘積為-1，代入消去D的縱坐標(biāo)，得到含a，b的等式即可.

解：依題意設(shè)D（a，y），則A（-a，0），由1知：

（2）本結(jié)論非常重要，故有人稱之為圓錐曲線的第三定義.不過這個(gè)稱呼不是很正規(guī)，希望大家在考試中不要隨意使用此名稱.

（3）為了避免出現(xiàn)直線斜率不存在的情況，本結(jié)論加上一句話“如果AP、BP的斜率存在”會(huì)更加嚴(yán)謹(jǐn)一些.不過為了避免啰嗦，也可以在運(yùn)算中引入無(wú)窮以避免上述特例.

下面總結(jié)一些本結(jié)論的應(yīng)用：

以下各題都假設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓（a>b>0）交于A、B兩點(diǎn).

3.若l與x軸交于點(diǎn)T，A′與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A′B⊥AA′，則kA′T∶k是否為只和e有關(guān)的定值？

思路分析：由1可得AB，A′B的斜率乘積為定值，由A′B⊥AA′可得AA′，A′B的斜率之積為-1，從而得到AB，A′A的斜率之比.化簡(jiǎn)得到y(tǒng)1，kx1的比值關(guān)系.用y1，kx1，m表示出kA′T∶k，此時(shí)似乎不易入手了.基本思路是消元，從中消去m，得到含y1，kx1的比例式，然后分子分母同除以y1，將上面得到的比例式代入化簡(jiǎn)即可得到最終結(jié)果.

圖3

解：依題意設(shè)則

又由A′B⊥AA′得-1=kAA′kBA′，

從而得到：

故kA′T∶k為只和e有關(guān)的定值.

注：本題是高考真題的一般化推廣，初看時(shí)有些迷茫，但是只要思路清晰，合理地消去參數(shù)m，將結(jié)果轉(zhuǎn)化為含有已知比例的等式，則思路就會(huì)變得較為流暢，最終得到的結(jié)果也非常漂亮.

下面研究與AB的中點(diǎn)M有關(guān)的問題：

4.設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），求x，y，k之間的關(guān)系.

圖4

思路分析：設(shè)出A，B，M三點(diǎn)的坐標(biāo)，由于A、B在橢圓上，類比運(yùn)用1中的方法，將兩式相減得到含有坐標(biāo)的等式，再利用其幾何意義即可得出所求的關(guān)系式.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

由點(diǎn)A，B在橢圓上，故

注：（1）此題解法非常經(jīng)典，基本套路為“一設(shè)點(diǎn)，二作差，三變形”，此方法一般簡(jiǎn)稱為“點(diǎn)差法”.此結(jié)論得到了圓錐曲線中弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的關(guān)系式.此結(jié)論與方法備受高考、自主招生、競(jìng)賽等命題者的青睞，是高中學(xué)生必須熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)之一.點(diǎn)差法的過程簡(jiǎn)潔，如果采用聯(lián)立方程及根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)計(jì)算的話，則計(jì)算量會(huì)大很多.

圖5

（3）涉及弦的中點(diǎn)的問題用此結(jié)論及方法往往能迅速解決.

（4）此結(jié)論中若k為定值，則弦的中點(diǎn)M（x，y）在定直線上運(yùn)動(dòng)，類似于圓，我們一般稱過原點(diǎn)的弦為橢圓的直徑.此結(jié)論似乎很簡(jiǎn)單，但是至關(guān)重要，可以用此結(jié)論作出橢圓的中心.