兩圓對對碰，面積最大值
——對一道浙江一模題的破解

☉浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) 顧 俠

一道好的數(shù)學(xué)題，凝聚著命題者多少的心血與努力；一道好的數(shù)學(xué)題，融合了多少數(shù)學(xué)知識的精華與脈絡(luò)；一道好的數(shù)學(xué)題，區(qū)分了多少學(xué)子的能力與素養(yǎng)；……一道好的數(shù)學(xué)題，引起了我們高度的熱議與深思.

一、問題呈現(xiàn)

問題（2019年浙江某市一模）已知O為坐標原點，圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-2）2+y2=4.A，B分別為圓M和圓N上的動點，則S△OAB的最大值為______.

本題目一出現(xiàn)就引起了高度熱議，題目設(shè)置巧妙，具有極高的水平.巧妙地把圓的方程、圓與圓的位置關(guān)系、三角形的面積公式、最值問題等加以鏈接，同時還隱含著三角函數(shù)等相關(guān)知識.而且該題還能找到2018年高考真題的原型（2018年全國Ⅰ卷理16），又高于原型，是一道不可多得的原創(chuàng)好題.

二、多解思維

設(shè)出相應(yīng)的角，結(jié)合圓的性質(zhì)得到對應(yīng)邊OA與OB的長度表達式，結(jié)合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化，利用三角恒等變換公式，以及輔助角對三角關(guān)系式進行變換，借助三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定相應(yīng)的最值，進而轉(zhuǎn)化為S△OAB≤2cosβ+sin2β，再利用不同的方法來求解三角關(guān)系式的最大值即可.

解法1：如圖1，設(shè)∠AOM=α，∠BON=β，則有|OA|=2cosα，|OB|=4cosβ，其中

圖1

下面確定相應(yīng)的三角函數(shù)的最大值問題，與“（2018年全國Ⅰ卷理16）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.”相似，可以從以下不同的角度加以破解.

方 法 1：設(shè)f（β）=2cosβ+sin2β，則 有f（β）=2cosβ+2sinβcosβ，可得：

方法2：設(shè)f（β）=2cosβ+sin2β，可得f′（β）=-2sinβ+2cos2β=-2sinβ+2（1-2sin2β）=2（1-sinβ-2sin2β）=2（1+sinβ）（1-2sinβ）.

令f（′β）=0，解得或sinβ=-1（舍去），由于β∈可得，所以，即S△OAB的最大值為

方法3：設(shè)f（β）=2cosβ+sin2β，

所以S△OAB的最大值為

設(shè)出相應(yīng)的角，結(jié)合圓的性質(zhì)得到對應(yīng)邊OA與OB的長度表達式，結(jié)合三角形的面積公式加以轉(zhuǎn)化得到S△OAB=4cosαcosβsin（α+β），結(jié)合誘導(dǎo)公式的轉(zhuǎn)化與配湊，湊成可以利用結(jié)論“在△ABC中，有sinAsinBsinC≤，當且僅當時等號成立”的情形，從而得以確定相應(yīng)的最大值問題.

解法2：如圖1，設(shè)∠AOM=α，∠BON=β，則有|OA|=2cosα，|OB|=4cosβ，其中

所以S△OAB的最大值為

根據(jù)幾何法進行轉(zhuǎn)化，延長BO交圓M于點C，利用兩圓方程所確定的位置與半徑得到|BO|=2|CO|，從而根據(jù)△OAB與△OAC同高的條件確定S△OAB=2S△OAC，再在圓M內(nèi)，利用“在圓的所有內(nèi)接三角形中，等邊三角形的面積最大”的結(jié)論加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，即可確定相應(yīng)的三角形面積的最大值.

解法3：如圖2，作BO的延長線交圓M于點C，結(jié)合兩圓的方程及性質(zhì)可得|BO|=2|CO|，則有S△OAB=2S△OAC.

而對于圓的內(nèi)接△OAC而言，當且僅當△OAC為等邊三角形時面積最大，此時等邊三角形△OAC的邊長為，對應(yīng)的面積

所以S△OAB的最大值為

圖2

三、鏈接真題

【高考真題】（2018年全國Ⅰ卷理16）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.

四、規(guī)律總結(jié)

在求解一些具有一定代表性、典型性的數(shù)學(xué)問題時，要學(xué)會認真分析——題目條件與結(jié)論，仔細研磨——解題方法與技巧，細心探究——變式拓展與探究，耐心串聯(lián)——高考真題與變形，進而真正達到“認真解答一個題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，鏈接串聯(lián)一整片，能力素養(yǎng)一起高”的目的.