精心設計問題串，思維品質巧妙激發
——借助一道解三角形的問題的破解

☉廣東省佛山市第一中學 陳超倫

問題串是指在特定的學習范圍或教學情境中，圍繞既定的目標或既定的中心問題，按照一定的邏輯體系結構，精心設計的一系列問題，以滿足學生不同層次的學習需求或達到體系化教學的目的的一種教學策略.下面借助一道涉及等差數列的解三角形問題中的求值問題，從常規方法與特殊方法兩方面入手來進行問題串的設計，從而進行解題思維的全方位展開，以及破解方法的有序進行.

一、問題呈現

典例在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果a，b，c成等差數列，則

本題題目比較簡單，只有一個已知條件“a，b，c成等差數列”，而根據此條件來求解在三角形背景下對應的三角關系式的值，其切入點比較明顯，容易入手，但運算較為煩瑣.而如何巧妙轉化，采取更為簡單快捷的方法來破解，從而有效簡化運算，提升效益，這才是解決問題的關鍵所在.

二、常規方法的問題串設計

問題1：如何采用常規方法來破解本題？

問題2：正確破解此題為什么常用余弦定理來轉化？

分析：根據題目條件中的“a，b，c成等差數列”，建立三邊之間的關系式：2b=a+c，借助所求解代數式中含有相應角的余弦值，首先想到的就是利用余弦定理，把對應的余弦值轉化為對應邊的關系式，再加以合理的變換與化簡，進而達到求值的目的.

問題3：如何根據條件“a，b，c成等差數列”的轉化，以及余弦定理的轉化來破解本題？

解法1：由于a，b，c成等差數列，則有2b=a+c.

問題4：如何根據條件“a，b，c成等差數列”加以合理設參“a=b-k，c=b+k”，然后通過余弦定理的轉化來破解本題？

解法2：由于a，b，c成等差數列，設a=b-k，c=b+k，結合余弦定理，可得

點評：利用余弦定理來破解本題是最常見的思維方式.結合已有的經驗，在解三角形問題中若涉及對應角的余弦值，往往可以采用余弦定理，把余弦值轉化為相應邊的關系式，再結合題目條件，對涉及邊的關系式進行合理的化簡即可達到目的.只是本題在采用余弦定理化角為邊的過程中，運算量比較大，浪費比較多的時間，而且運算過程極易出錯.

三、特殊方法的問題串設計

問題5：如何采用特殊方法來破解本題？

問題6：既然采用余弦定理來轉化求值運算量大，且過程繁雜，而對應三角關系式的值又是一個具體的數值.那么根據題目條件，有沒有其他更為簡便的方法可以用來快速破解呢？

問題7：怎樣的已知條件才會導致破解此題能夠取特殊值法？

分析：根據題目條件中的“a，b，c成等差數列”，同時所要求解的對應三角關系式的值又是一個確定的數值，這種情況下往往可以考慮用特殊值法，利用特殊值法來求解特殊情況下對應三角關系式的值.而根據特殊與一般思想，其所求解的特殊情況下的值也具有一般性，從而得以快速破解.

問題8：對于題目條件“a，b，c成等差數列”，以及在三角形這一前提條件下可以選取怎樣的特殊值來加以破解？

分析：其實，結合條件“a，b，c成等差數列”，只要選取的a，b，c成等差數列，又要滿足在三角形背景下這一前提條件，即對應的三邊長要滿足三角形的性質：“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即可.可以選擇一般的特殊值，還可以選擇更為特殊的特殊值.

問題9：如何根據條件“a，b，c成等差數列”，以及在三角形這一前提條件下取一組特殊值“a=4，b=5，c=6”（或其他滿足條件的特殊值），結合余弦定理的快速轉化來破解本題？

解法1：由于a，b，c成等差數列，所以可取特殊值a=4，b=5，c=6.（或其他滿足條件的特殊值）

問題10：如何根據條件“a，b，c成等差數列”，以及在三角形這一前提條件下取一組更為特殊的特殊值“a=3，b=4，c=5”（此時為直角三角形），結合三角函數的定義來快速轉化并破解本題？

解法2：由于a，b，c成等差數列，所以可取特殊值a=3，b=4，c=5.

此時△ABC是以C為直角的直角三角形，結合三角函數的定義可得

問題11：如何根據條件“a，b，c成等差數列”，以及在三角形這一前提條件下取一組更為特殊的特殊值“a=b=，結合特殊角的三角函數值的快速轉化來破解本題？

解法3：由于a，b，c成等差數列，所以可取特殊值a=b=c.

此時△ABC是等邊三角形，即，結合特殊角的三角函數值可得

問題12：正確解決此題時三角形的三邊a，b，c取怎樣的值時，可以最為簡單快捷地破解？

點評：利用特殊值法來求解此類對應三角關系式的求值問題，是破解此類問題時經常考慮的一類技巧方法.采用特殊值破解時，要求所求解的相關關系式必須是常數，否則特殊值不代表一般，容易導致錯誤.而在特殊值的選取及構造直角三角形或等邊三角形時，運算量更小，解答過程更為簡單且易操作，效益明顯.

四、結束語

其實，在實際數學課堂的教學過程中，教師若能圍繞實際的教學內容，以及學生的認知水平、能力層次來有效且精心地設計恰當的問題串，形成問題間的有效串連，搭起整個課堂的思維框架，進而構建起生動活潑的生成性課堂，有效地激發學生的積極性，引導學生自主探究，對提升學生的學習興趣，拓展其思維品質，發展各方面能力等都大有裨益.