例談如何選擇貼合學生實際的例題或習題

☉江蘇省蘇州市田家炳實驗高級中學 何小寅

教師選取數學例題、習題必然要比學生有想法、有經驗，易于學生接受是教師選取例題、習題過程中應該秉持的原則.脫離學生的實際接受能力的題目就像不合腳的鞋子一樣，不適合學生的同時還會妨礙學生對知識的鞏固和理解.筆者結合“反證法”這一內容的教學，主要談談精選例題、習題這一方面的思考.

反證法的定義與應用是這一教學內容的重點，根據筆者多年的教學實踐反映，學生對教材本身配備的例題、習題往往會感到很別扭.數論知識在教材的編寫中占據的地位極低，學生掌握數論知識比較少的同時對教材中設計的前三道數論問題自然會感到無從下手.很多教師在教學中會提醒學生運用反證法來解決問題，但真正能夠順利運用反證法證明的學生卻少之又少，故例題的存在自然是沒有意義可言的，學生學習數學的積極性大受打擊的同時也會感到數學學習特別無趣，教師費盡心思教學或許能使學生明白，但學生對反證法的理解卻談不上了.

教材中有一道證明題是有關平面幾何的，運用反證法進行平面幾何的證明在高中階段并未作要求，因此學生很難想到該題的切入點，思考這一難題的過程往往也會沖淡反證法知識的應用.總之，教材中所呈現的這四道例題往往會令教師和學生都感到例題的設置是偏離對反證法的理解與應用的，顯然這是偏離學生實際的編寫.

遺忘曲線的規律是大家所熟知的，學生學習的知識往往會隨著時間的推移而逐漸遺忘，因此，教師應從學生最近學習的知識中進行例題、習題的編制或選取，使學生能夠感到熟悉和親切的同時增加其學習的信心，學生的學習能力逐漸增強的同時也會增加其數學學習的積極性和興趣.

因此，筆者認為應對這一章節內容中的例題和習題進行新的設計.筆者所在的數學教研小組因此進行了新的研究，從不等式、解析幾何、函數與方程、立體幾何這四個方面進行了新的選擇并因此取代了教材中的例題.這些學生所熟悉的知識凸顯了反證法的應用，這些不糾纏于知識細枝末節的例題也更具代表性，反證法得到廣泛應用的同時也令學生更好地接受了新的知識.

例1設a，b，c∈（0，+∞），求證三個數中至少有一個不小于2.

證明：假設均小于2，即，則，所以，所以

例2已知二次函數y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b（a，b，c為三個互不相等且都不為零的實數）.證明它們的圖像至少有一個和x軸存在兩個交點.

證明：假設三個圖像和x軸都不存在兩個交點，因此將三式相加，可得a2+b2+c2≤ab+bc+ac，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，所以a=b=c.這與題設中a，b，c互不相等這一條件是矛盾的，因此三個函數的圖像至少有一個和x軸存在兩個交點.

例3已知函數，請運用反證法證明f（x）=0無負數根.

證法1：假設存在，滿足，則ax0=又0＜ax0＜1，因此，即，這與假設x0＜0矛盾，因此方程f（x）=0無負數根.

證法2：假設存在x0＜0（x0≠-1），滿足

（1）若-1＜x0＜0，則，因此f（x0）＜-1，這與f（x0）=0矛盾；

（2）若x0＜-1，則，因此（fx）0＞0，這與（fx0）=0矛盾.

所以方程f（x）=0無負數根.

例4如圖1所示，已知△ABC是銳角三角形，直線SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC.求證：H不可能是△SBC的垂心.

圖1

證明：假設H是△SBC的垂心.連接BH，則BH⊥SC.又AH⊥平面SBC，SC?平面SBC，所以AH⊥SC.因為AH∩BH=H，所以SC⊥平面ABH.又AB?平面ABH，所以SC⊥AB.

又因為SA⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AB⊥SA.又因為SA和SC相交于點S，所以AB⊥平面SAC.所以AB⊥AC，即∠BAC=90°，這與△ABC是銳角三角形這一條件相矛盾，故H不可能是△SBC的垂心.

練習A：

1.運用反證法證明“三角形中最多只有一個內角為直角”這一命題時可以假設（ ）.

A.有兩個內角為直角 B.有三個內角為直角C.至少有兩個內角為直角 D.內角都不是直角

2.設a，b，c∈（-∞，0），求證中至少有一個不大于-2.

練習B：

1.命題“a，b為實數，若|a-1|+|b-1|=0，則a=1且b=1”，運用反證法證明時可假設______.

2.若x，y＞0且x+y＞2，求證：與中至少有一個小于2.

3.若以下方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍.

說明：上述例題和習題的設計不僅考慮到了學生對這些題目的接受程度，還體現了以下幾個方面的內容：

（1）由例4可以看出，否定性命題的證明往往可以運用反證法來解決.

（2）當“至少多少個”、“至多多少個”這樣的字眼在題目中出現時往往可以考慮運用反證法來證明，例1就很好地體現了這一點.

（3）例1和練習A中的第2題之間存在著非常密切的聯系，練習A中的第2題對a，b，c三個數的性質進行了改變，由正實數到負實數這一條件的改變也令學生在練習中獲得了知識與方法的鞏固.

（4）將式子相加是解決例1的基本辦法，先變形再相加是解決練習B中第2題的處理辦法，層層遞進的關系也因此得到了很好的體現，如此設計也使學生對知識的理解得到了逐步的加深.

總之，教師在精選例題的過程中應本著貼近學生實際、促使學生能力發展的目的，使學生在分析、思考與反思中更好地掌握解題規律并積累更多的解題經驗.

（1）要有針對性.選擇的例題或習題主要為了解決什么問題是教師在選題時應該思考的.題目練習的目的性和針對性往往能夠決定題目的質量，對癥下藥的選題才能更好地起到有的放矢的教學效果.

（2）要有可行性.學生當前的學習水平如何、學生當前學習中需要解決的問題在哪里、例題或習題選擇的目的是什么都是教師在精選例題或習題時需要注意的.難易有度、數量適宜且能貼合學生實際需要與教學內容的練習才是可行的，才是能夠解決學生學習需求的好練習.

（3）選題應具有糾錯功能.學生在平時的作業及考試中都會犯錯，教學的重難點、學生學習上的問題、教學中的疏漏往往都會在一些典型錯誤上得到體現.教師在教學中應能及時地發現這些問題，并選擇、編制相應的例題、習題來幫助學生糾錯，使學生能夠在糾錯的過程中達到查漏補缺、穩步提升的學習效果.

（4）題目應具有嚴密性.教師只有具備扎實的教學功底和數學素養，才能在海量的數學題中選出合適的例題或習題，才能有計劃、有步驟地將知識性、思想性及解題技巧均融合于一體的例題或習題提供給學生，使學生在嚴密而科學的解題思考中獲得知識與能力的共同提升.