對一道模擬題的多解及變式探究

☉山東省菏澤市第三中學 袁瑞泉

三角形中相關的最值問題一直是解三角形問題中的重點與難點之一，充分融合了解三角形、三角函數、函數、不等式、導數等相關知識，是新課標大綱中充分體現在“知識點交匯處”命題的一大主陣地.此類問題難度一般比較大，但破解的思維方式多樣，切入點靈活，一直是歷年高考、自主招生、各類競賽命題中的基本考點和熱點之一.

一、問題呈現

問題（山東省煙臺市2019屆高三二模數學試卷·14）在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的最大值為______.

本題以△ABC為問題背景，條件非常簡單，只給出三角形的內角所滿足的一個三角函數關系式sinC=2cosAcosB，進而要確定相應的三角函數關系式cos2A+cos2B的最大值.如何通過條件切入并利用不同的思維方式來處理是破解本題的關鍵所在.

二、多解思維

結合條件中的三角函數關系式，借助三角函數中的相關公式進行轉化與變形，通過轉化得到tanA+tanB=2，再把所要求解的三角函數關系式也轉化為含有tanA與tanB的關系式，借助函數法來求解相應的最大值即可.

分析1：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均為銳角，又由于sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2cosAcosB，兩邊同時除以cosAcosB，整理可得tanA+tanB=2.

解法1：借助換元思維，令6-2tanAtanB=t（t＞0），結合三角函數關系式的變換，轉化為相應的函數問題，再借助基本不等式的應用來確定相應的最大值問題即可.

由于分母tan2Atan2B-2tanAtanB+5＞0，

則令6-2tanAtanB=t（t＞0），

解法2：借助換元思維，令t=tanAtanB，利用基本不等式確定參數t的取值范圍，再把相應的問題轉化為相應的方程Ht2-2（H-1）t+5H-6=0（其中H=cos2A+cos2B），結合方程有根的條件，利用判別式法來確定相應的最大值問題即可.

設t=tanAtanB，則有可知t∈（0，1］，由，可得Ht2-2（H-1）t+5H-6=0，則由判別式Δ=4（H-1）2-4H（5H-6）≥0，解得.又由于t2-2t+5-（6-2t）=t2-1≤0，可得t2-2t+5≤6-2t，即H≥1，所以，即cos2A+cos2B的最大值為，故填答案

結合條件中的三角函數關系式及所要求解的三角函數關系式，借助三角函數中的相關公式進行轉化與變形，通過轉化得到對應的正弦型函數，再利用三角函數的圖像和性質求出最大值即可.

分析2：先由題意得△ABC中的恒等式cos2A+cos2B+，化簡得再利用三角函數的圖像和性質求出最大值即可.

解法3：在△ABC中，由題意可得cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1成立.

分析3：通過條件中的關系式sinC=2cosAcosB，利用兩角和與差的余弦公式、誘導公式加以轉化得到sinC+cosC=cos（A-B），進而結合所要求解的三角函數關系式的三角恒等變換，利用二倍角公式、和差化積公式及輔助角公式等進行轉化，得到對應的正弦型函數，再利用三角函數的圖像和性質求出最大值即可.

解法4：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均為銳角，又sinC=2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）=-cosC+cos（AB），則有sinC+cosC=cos（A-B）.

三、變式探究

探究1：保留原問題的條件，改變求解三角函數關系中最值的名稱，從而得以變式.與原題難度相當，知識點一致，只是改變了一個角度：

變式1：在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的最小值為______.

解析：由sinC=2cosAcosB＞0，可知A，B均為銳角，又sinC=2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）=-cosC+cos（AB），則有sinC+cosC=cos（A-B）.

由于A，B均為銳角，則知，可得sinC+cosC=cos（A-B）∈（0，1］.

而sin2C=2sinCcosC=（sinC+cosC）2-1=cos2（A-B）-1≤0，則知π≤2C＜2π，

探究2：保留原問題的條件，改變求解三角函數關系中最值為相應的取值范圍問題，從而得以變式.此變式是在原題的基礎上加以更深入的拓展，難度變大了一點，知識點一致，要求則更全面、更深入.

變式2：在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則cos2A+cos2B的取值范圍為______.

解析：結合以上問題與變式1的解析可知，cos2A+，故填答案

探究3：保留原問題的條件，改變求解三角函數關系中的三角函數名稱，同時變最值為相應的取值范圍問題，從而得以變式.此變式是在原題的基礎上加以更深入的拓展，角度也相應的發生了變化，難度變大了一點，知識點一致，拓展性更大.

變式3：在△ABC中，若sinC=2cosAcosB，則sin2A+sin2B的取值范圍為______.

解析：結合以上變式1的結論可知，sin2A+sin2B∈故填答案

四、規律總結

其實，在求解三角形中相關的三角函數關系式的最值或取值范圍問題時，關鍵是要發現三角形中的邊、角等要素之間的內在聯系與變化規律，結合解三角形中的相關定理、三角函數中的相關公式等加以有效轉化，從而充分融合不同的知識點，加強了知識點之間的內在聯系與轉化變形，真正有助于學生解題能力與數學應用能力的提升，全面拓展思維，提升應用能力，培養數學素養.