對一道立幾題的多解、變式及延伸

☉甘肅省高臺縣第一中學 王學成

立體幾何中的空間角（線線角、線面角與二面角等）問題，能夠比較集中地考查學生的空間想象能力，還能有效地考查邏輯推理、直觀想象與數學運算等相關的核心素養，歷年來為高考命題者所垂青，幾乎每年必考.而異面直線所成的角也是其中重要的一個部分，破解方法靈活多樣，問題背景與設問角度千變萬化，是空間角的考查過程中的一個活躍因素.

一、問題呈現

例題（2018年上海卷17）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2.

（1）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

圖1

（2）設PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段

AB的中點，如圖1所示.求異面直線PM與OB所成角的大小.

本題以圓錐為空間幾何體的背景，通過求解圓錐的體積及異面直線所成的角來設置問題.而借助異面直線所成的角進一步拓展與變形，可以轉化為求解直線與平面所成的角或二面角的平面角等空間角問題.

二、多解思維

解析：（1）由于圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4.

（2）由于PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點.

求解異面直線PM與OB所成角的大小，可以從以下不同的思維角度來入手：

角度1：取OA的中點N，利用MN∥OB，抓住異面直線所成角的定義，即可確定∠PMN即為異面直線PM與OB所成的角.再通過求解三角形來進行化歸與轉化，結合余弦定理的應用即可達到求解的目的.

解法1：取OA的中點N，連接PN、MN，而M為線段AB的中點，則知MN∥OB，且，根據異面直線所成角的定義可知∠PMN即為異面直線PM與OB所成的角.由于，在△PMN中，由余弦定理可得，即所以異面直線PM與OB所成角的大小為

點評：利用平移法求解異面直線所成角是破解異面直線所成角中比較常見的一類幾何法，具有一定的可操作性，且有規律可循.在具體的平移法求解過程中，最常見的是抓住幾何體中的一些特殊點（如線段中點、線段分點、線段交點、線段已知點等），利用異面直線所成角的定義合理地構造異面直線所成的角，再結合相關的知識來分析與求解即可.

角度2：根據所求異面直線中兩直線所對應的向量，其中，結合空間向量的數量積公式加以轉化得到的值，結合異面直線所成角的條件，利用公式來求解并確定相應的角即可.

解 法2：根據題意可得，則有cos45°=2.設異面直線PM與OB所成的角為θ，則cosθ=，即θ=，所以異面直線PM與OB所成角的大小為

點評：利用基底法求解異面直線所成角是破解異面直線所成角中比較常見的一類方法，破解的關鍵是根據題目條件選擇恰當的基底向量，通過空間向量的線性關系與線性運算進行化歸與轉化，進而表示成相應的基底向量的線性關系，再結合空間向量的數量積公式來確定對應的空間向量的夾角，并結合異面直線所成角的取值情況加以對比來確定即可.

角度3：結合PO垂直于底面圓，同時∠AOB=90°，則可以以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，再將異面直線PM與OB所對應的空間向量與用坐標的形式表示出來，最后利用空間向量的數量積的坐標運算公式來處理即可.

圖2

解法3：由于PO=4，OA，OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，所以以O為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，如圖2所示，建立空間直角坐標系O-xyz，則P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0）.設異面直線PM與OB所成的角為θ，則，即，所以異面直線PM與OB所成角的大小為

點評：利用坐標法求解異面直線所成角是官方給出的標準參考答案，也是破解異面直線所成角中比較常見的方法.利用坐標法解決此類問題時，關鍵是建立恰當的空間直角坐標系，利用空間向量的數量積的坐標運算的夾角公式來分析與求解，要求計算準確.設異面直線PM與OB所成的角為θ，則有要特別注意的是異面直線所成的角與空間向量的夾角之間的關系，有時兩者并不吻合.

三、變式探究

探究1：保留題目背景，改變原來求解異面直線所成的角為直線與平面所成的角，從而得到以下變式：

變式1：已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2.

（1）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

（2）設PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，如圖1所示.求直線PM與圓錐底面所成角的大小.

解析：（1）同真題（1）的解析.

（2）連接OM，根據直線與平面所成角的定義可知∠PMO即為直線PM與圓錐底面所成的角，由于PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，可得，在Rt△POM中即，所以直線PM與圓錐底面所成角的大小為

探究2：保留題目背景，改變原來求解異面直線所成的角為二面角的平面角問題，從而得到以下變式：

變式2：已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2.

（1）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

（2）設PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，如圖1所示.求二面角P-AB-O的平面角的大小.

解析：（1）同真題（1）的解析.

（2）連接OM，由于PO=4，OA、OB是底面半徑，且°，M為線段AB的中點，可得AB，又PO垂直于圓錐底面，結合三垂線定理及其逆定理可知PM⊥AB.

根據二面角的平面角定義可知∠PMO即為二面角P-AB-O的平面角，在Rt△POM中，即，所以二面角P-AB-O的平面角的大小為

四、規律總結

涉及立體幾何中的空間角（線線角、線面角與二面角等）問題，破解的方式可以從幾何法的角度進行合理的平移法、補形法的應用，也可以從向量法的角度進行合理的基底法、坐標法的應用.幾何法重邏輯推理與數學運算，而向量法重空間想象與數學運算.無論采用哪種破解方式，都可以達到解決問題的目的，解決問題的關鍵是充分考慮題目條件，通過空間想象能力、運算求解能力的應用來綜合處理.