對一道平面向量的系數代數式的求解與拓展

☉安徽省合肥市第七中學 彭曉芹

美國著名的數學教育家G·波利亞說過：“觀察可能導致發現，觀察將提示某種規則、模式或定律.”在解決一些相關的數學問題時，有時我們通過深入觀察，多思維拓展，往往會有意想不到的收獲.

問題如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上若則x+y=______.

圖1

分析：本題涉及平面幾何圖形背景下平面向量的線性關系中相關系數的和的求解問題，綜合平面幾何、平面向量、三角函數等相關知識，交匯性多，創新性強.可以通過坐標法借助平面向量知識來處理，也可以通過幾何法借助平面幾何知識來處理.

解法1：以O為坐標原點，以OB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，則知，設C（m，n）（其中m＞0，n＞0），可得m2+n2=1.而，可得，并與m2+n2=1聯立，解得.而可 得+y（1，0），解得，所以

故填答案

圖2

圖3

解法2：如圖3，連接AB交OC于點D，過D，C分別作DE⊥OB，CF⊥OB，垂足分別為E，F.

設OE=x1，在Rt△ODE中，

在Rt△DEB中，則有OE+BE=，可得

在Rt△ODE中

點評與拓展：通過多個知識點的交匯，綜合動與靜，交匯數與式，真正達到完美的統一.其實，通過對本題的深入觀察與研究，根據條件進行拓展，可以將此類問題進行深化與變式，從而開拓解題的深度與廣度.

變式方向1：改變條件，探求系數代數式的值問題.

變式1：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，若∠BOC=30°，則x+y=______.

解析：如圖4所示，過點C作CD∥OA交OB的延長線于點D，過點C作CE∥OB交OA于點E，由于∠AOB=120°，則有∠ODC=60°，而∠BOC=30°，所以有∠OCD=90°.

圖4

而OC=1，可得

變式方向2：減少條件，探求系數滿足的關系式問題.

解析：以O為坐標原點，以OB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

故填答案：x2-xy+y2=1.

變式方向3：減少條件，探求系數代數式的取值范圍或最值問題.

變式3：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，，則x+y的取值范圍為______.

解析：以O為坐標原點，以OB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，則知

組成。裝置內部無扎線，使用WB500總線背板。351F采用現場總線CAN網技術，與主控單元的通信采用深圳所的《ISA300基于CAN網保護測控通信規約》V3.01；接地變及站用變 351F軟件信息均為：ISA-351F-FG-11C-V1.54-20041118。

故填答案：［1，2］.

變式4：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，則x+y的最大值為______.

解析：同變式3中的過程一樣，則，即，亦即時取得最大值2.

故填答案：2.

變式方向4：減少條件，探求系數代數式變形的最值問題.

變式5：如圖1，在半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，點C在弧AB上，則的最小值為______.

解析：由于∠AOB=120°，點C在弧AB上，可知x＞0，y＞0.

以O為坐標原點，以OB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

n2=1.

兩邊同時除以xy可得2，當且僅當，即x=y=1時等號成立.

所以xy≤1.

故填答案：2.

看似平常的一道平面向量問題，其實經過認真分析，仔細探究，可以從不同的角度用不同的方式加以拓展深入，真正達到“認真解答一道題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起高”的美好目的，從而避免“題海戰術”，真正做到開拓思維，拓展能力，提升素養，培養品質.