對一道高考模擬題的多解剖析

☉江蘇省宜興市第二高級中學 呂 昌

導數作為一種數學解題工具，可以用來處理很多與函數有關的問題.而涉及不等式的證明問題是其中最具有綜合與創新應用的一種題型，其實質就是通過所要證明的不等式的等價變換，構造與之相應的函數，通過求導，結合導數判斷函數的單調性來處理對應函數的單調性、極值或最值問題，進而達到解決不等式的證明與應用等相關問題的目的.

一、問題呈現

問題已知函數

（Ⅰ）求f（x）的單調區間；

（Ⅱ）若a≤1，證明（其中e是自然對數的底數，e=2.71828…）.

本題結合已知函數，通過求導來確定函數的單調性與單調區間，并通過函數的構造與應用，利用導數來求解相應函數的最值，從而解決不等式的證明問題.通過巧妙的設置問題，考查化歸與轉化思想、分類討論思想等.

二、問題解決

解析：（Ⅰ）解法一：函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），而，令，則u（′x）=.所以u（x）在區間（0，1］上單調遞增；在區間［1，+∞）上單調遞減.故x∈（0，1）∪（1，+∞）時，u（x）＜u（1）=0，即f′（x）＜0.因此，f（x）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上也單調遞減.

解法二：函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），而，令u（x）=x-xlnx-1，則u′（x）=1-lnx-1=-lnx.

當x∈（0，1）時，u′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，u′（x）＜0.

所以u（x）＜u（1）=0，即f′（x）＜0.因此，f（x）的單調遞減區間為（0，1），（1，+∞）.

（Ⅱ）證法一：（分類討論法）

因為a≤1，故，因此只需證明（fx）＞，即證明

①先證明x∈（1，+∞）時的情況，此時（*）?lnx-

令h（x）=ex+x3-2x2-x，則h′（x）=ex+3x2-4x-1，h″（x）=ex+6x-4＞0（因為x＞1）.

所以h′（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，故h′（x）＞h′（1）=e-2＞0.

所以h（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，于是h（x）＞h（1）=e-2＞0.

則有x∈（1，+∞）時，所以g（x）在區間（1，+∞）上單調遞增.

因此，當x∈（1，+∞）時，g（x）＞g（1）=0，即

②下面證明x∈（0，1）時的情況：

證明角度1：

令g（x）=ex-x-1，則g′（x）=ex-1＞0，所以g（x）在區間（0，1）上單調遞增.

于是當x∈（0，1）時，g（x）＞g（0）=0，即

令h（x）=lnx-x+1，則，所以h（x）在區間（0，1）上單調遞增.

于是當x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）=0，即lnx-x+1＜0.

證明角度2：

當x∈（0，1）時，此時

令h（x）=ex+x3-2x2-x，則h′（x）=ex+3x2-4x-1，h″（x）=ex+6x-4.

顯然函數h″（x）在區間（0，1）上單調遞增.

而h″（0）=-3＜0，h″（1）=e+2＞0，故?x0∈（0，1），使得h′（x）在區間（0，x0）上單調遞減，在區間（x0，1）上單調遞增.

而h′（0）=0，h′（1）=e-2＞0，故必存在唯一的x1∈（x0，1）?（0，1），使得h（x）在區間（x0，x1）上單調遞減，在區間（x1，1）上單調遞增，且h′（x1）=0，即ex1=-3x12+4x1+1.

令v（x）=x3-5x2+3x+1，x∈（0，1），則v′（x）=3x2-10x+3=（3x-1）（x-3）.

所以v（x）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

而v（0）=1＞0，v（1）=0，因此當x∈（0，1）時，v（x）＞0.

故h（x）≥h（x1）＞0，則 有x∈（0，1）時 ，g′（x）=.所以g（x）在區間（0，1）上單調遞增.

因此，當x∈（0，1）時，g（x）＜g（1）=0，即

故若a≤1，則有成立.

證法二：因為a≤1，故

顯然當x∈（0，+∞）時，恒有h?（x）＞0，所以h″（x）在區間（0，+∞）上單調遞增.

而h″（1）=0，于是知當x∈（0，1）時，有h″（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，有h″（x）＞0.

所以h′（x）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增.

因此當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，有h′（x）＞h′（1）=0.

所以h（x）在區間（0，+∞）上單調遞增.

又注意到h（1）=0，于是知當x∈（0，1）時，有h（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，有h（x）＞0.

所以g（x）在區間（0，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增.

因此當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，

故若a≤1，則有成立.

點評：在（Ⅰ）中求解函數f（x）的單調區間時，通過對函數求導，結合導函數的變換，可以通過不同函數的構造來確定其單調性與最值，從而得以確定函數f（x）的單調區間；在（Ⅱ）中結合條件a≤1，先通過轉化不等式進而來證明，可以結合對應函數的定義域（0，1）∪（1，+∞）分類討論來證明，也可以在定義域的條件下綜合來證明.在分類討論證明不等式中，證明x∈（0，1）時不等式成立的情況，還可以通過放縮法與函數單調性轉化法等不同的方法來切入與應用.

利用導數法證明不等式是證明不等式問題的一種重要方法，其證明思維與方向明確，且證明過程往往簡捷明快，特別是在證明一些相關的超越不等式時，更是如魚得水.證明的關鍵是通過構造合理且恰當的函數，把不等式的證明問題轉化為利用導數法研究函數的單調性或求解極值或最值問題，從而得以證明相應的不等式.