從建立“三心”的視角談高中數學復習

☉甘肅省天水市秦安第一中學 張玉琴

高考注重對考生能力的考查，這里的能力除了分析問題與解決問題的能力，還有考生的心理承受能力.兩軍對壘勇者勝，將高考比作兩軍作戰并不為過.因此在平時的復習中，我們要建立“信心”、“細心”和“耐心”.

一、信心

學生到了高三階段，每周有周測，每月有月考，每學期有期中、期末考試，高考前還有一模、二模，已經進行了大量的實戰訓練，明確了高考?？碱}型，以及考查視角、考查方法，甚至某一知識點在高考試卷中的考查位置都了然于胸，那還有什么可畏懼的呢？

以高考中函數考題為例：

考查題型既有客觀題又有解答題.客觀題主要考查函數的圖像、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、零點、最值等.

考查視角以函數的零點問題為例，主要有三種視角：

（1）求函數的零點，此類問題經常出現在函數與導數綜合的解答題中，轉化為求方程的根，再利用因式分解求解.對于不能因式分解的，可通過觀察法得出方程的根，再判斷其唯一性.

例1求方程1-lnx-x2=0（x＞0）的根.

解析：易得x=1是方程的一個根，那方程是否還有其他的根？此時可利用函數的性質來判斷，設f（x）=1-lnx-x2，則，所以函數（fx）在（0，+∞）內單調遞減，故函數只有唯一的零點x=1.

（2）判斷函數零點所在的區間，此類問題經常借助函數的單調性及零點的存在定理來判斷，若函數f（x）在區間（a，b）內單調，且f（a）f（b）＜0，則函數f（x）在區間（a，b）內存在唯一的零點.若區間端點值已知，可直接代入判斷.若區間端點值未知，可選取特殊值來進行判斷.

例2求證函數f（x）=ex-lnx-2（x＞0）的最小值大于0.

解析：求導得因為f（′1）=e-1＞0，且在（0，+∞）上單調遞增，所以在（0，+∞）內存在唯一的x0，使得，即

當x∈（0，x0）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增.所以f（x）min=f（x0），結合式①得，故問題得解.

本題明為求函數的最值，實為判斷導函數零點的存在性及零點所在的區間，通過選取特殊值利用零點存在定理來進行判斷.

（3）求函數零點的個數，此類問題可通過判斷方程f（x）=0的根的個數或轉化為兩個函數，看兩函數圖像的交點個數.

例3已知函數若方程有兩個根，則a的取值范圍是______.

解法1：由函數的單調性可知，分段函數的兩端各有一個根.由，得即

綜上可得滿足條件的a的取值范圍是

解法2：在同一坐標系中作出的圖像，如圖1所示.

圖1

圖2

欲使g（x）=2x+a與在x軸的非負半軸有一個交點，則y=2x向上平移時，要小于個單位；向下平移時，不超過個單位.所以

綜上可得滿足條件的a的取值范圍是

對于高考的其他考點，類似上面所述內容，如果我們都做到了心中有數，自然會建立起必勝的信心.

二、細心

“會而不對，對而不全”是解題的大忌，因此對于易混易錯的問題，要時常給自己提個醒，細心應對.例如，在函數與導數的復習中容易忽視如下內容：

（1）在處理與函數有關的問題時，易忽視定義域優先原則.

（2）對于函數有多個不連續的單調區間時，要用“和”“，”，不能用“∪”“或”.

（3）“函數在區間（a，b）內單調遞增”與“單調增區間為（a，b）”的區間，前者為后者的子集.

（4）在處理底數不確定的指數函數或對數函數的相關問題時，忽視對底數的討論.

（5）在函數應用中，易混淆“平均變化率”與“增長率”的區別.

（6）“f′（x0）=0”是“x=x0為f（x）的極值點”的必要不充分條件.要判定“x=x0是否為f（x）的極值點，還需判斷f′（x）在x＜x0和x＞x0時的符號.

（7）可導函數f（x）在（a，b）上遞增（遞減）的充要條件是f′（x）≥0（f′（x）≤0）在（a，b）內恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子區間內都不恒等于0.在某區間內的個別點處的導數為0，不影響單調性.

例4已知函數，且x=1為f（x）的一

解析：求導得，由f（′1）=0?b=3.

本題結論雖然正確，但忽視了“f′（x0）=0是x=x0為f（x）的極值點的必要不充分條件”.要判定x=x0是否為個極值點.

（1）求b的值；（2）略.f（x）的極值點，還需進行檢驗.（此處略）

例5某地區六年內第x年的生產總值y（單位：億元）與x之間的關系如圖3所示，則下列四個時段中，生產總值的年平均增長率最高的為（ ）.

A.第一年到第三年

C.第三年到第五年

B.第二年到第四年

D.第四年到第六年

圖3

解析：在本題的求解中，部分考生將“平均增長率”與“平均變化率”混淆，進而比較的大小而造成錯選.

設“年平均增長率”為q，則ym（1+q）2=yn（m＜n），即q=-1.因此比較平均增長率的大小，只需比較的大小即可.結合圖像易知故選擇答案：A.

三、耐心

對于一道題目的解答，既考查了考生的審題能力，也考查了與所學知識建立關聯的能力、條件的利用與轉化能力、計算能力等，這些內容均涉及了考生的耐心，有一個環節出錯，都會功虧一簣.

例6已知函數f（x）=ex-x2-x.

（1）略；

（2）求證：存在c＜0，當x＞c時，f（x）＞0.

①先入為主，確定思路.

解析：從求證的結論“存在c＜0，當x＞c時，f（x）＞0”，可知函數f（x）與x軸的負半軸有一個交點（c，0）（c＜0），當x＞c時，f（x）＞0.因此初步確定求解思路，判斷函數的單調區間，求函數的極值.

②步步為營，調整策略.

對函數f（x）求導得f′（x）=ex-2x-1，令ex-2x-1=0，注意到方程有一個零點x=0，是否還有其他零點？

設g（x）=ex-2x-1，則g′（x）=ex-2，在區間（-∞，ln2）內，g（x）單調遞減；在區間（ln2，+∞）內，g（x）單調遞增.g（ln2）=1-2ln2＜0，g（2）=e2-5＞0，所以g（x）在區間（ln2，2）內還有一個零點，設為x0，即ex0-2x0-1=0.進而可知函數

f（x）在（-∞，0），（x0，+∞）內單調遞增，在（0，x0）內單調遞減.

又f（x0）=ex0-x02-x0，結合ex0-2x0-1=0得.欲

使所證的結論成立，應有f（x0）＞0，但由于之前確定的x0∈（ln2，2），并不能保證f（x0）＞0，故應調整策略，重新確定x0的范圍.

進而結論得證.

總之，在復習階段建立“三心”，既是提高考生解題能力的需要，更是促進考生全面健康發展的需要.排除解題的心理障礙，有利于考生創新思維能力的發展，進而取得良好的成績.