近幾年高考平面向量問(wèn)題分析及復(fù)習(xí)策略

☉江蘇省南京市中華中學(xué) 薛安定

為了更好地應(yīng)對(duì)2020年高考的數(shù)學(xué)備考，通過(guò)對(duì)近幾年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題中平面向量知識(shí)點(diǎn)的試題分析，梳理出高考數(shù)學(xué)試題對(duì)平面向量的考查意圖，了解到高考數(shù)學(xué)試題中平面向量的命題方向，并結(jié)合考試說(shuō)明進(jìn)行對(duì)比，為新一屆考生的復(fù)習(xí)備考提供一些展望與指導(dǎo).

一、平面向量的考點(diǎn)分析與考查重點(diǎn)

考點(diǎn)分析與考查概況：

年份 題號(hào) 分值 考點(diǎn)2 0 1 3年 1 3 5分 平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算2 0 1 4年 1 5 5分 兩平面向量的夾角2 0 1 5年 7 5分 平面向量的線性運(yùn)算（分解）2 0 1 6年 1 3 5分 平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算2 0 1 7年 1 3 5分 平面向量的模2 0 1 8年 6 5分 平面向量的基本定理

平面向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，是高考中解決問(wèn)題的一種有效的方法，試題一般以填空題的形式出現(xiàn)，主要考查平面向量的模、平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算等.

二、平面向量的試題特點(diǎn)及命題規(guī)律

（1）從地位上看：平面向量在高考中一直占據(jù)著重要的地位，表現(xiàn)出總體穩(wěn)定、穩(wěn)中求新的特點(diǎn).

（2）從方向上看：考題遵循《考試大綱》和《考試說(shuō)明》，立足基礎(chǔ)，貼近教材，突出能力考查.

（3）從題型上看：以選擇題、填空題為主，有一至兩道題，小題分值在5分左右，大題主要作為一種工具來(lái)解決問(wèn)題.

（4）從難度上看：以容易題和中檔題為主，小題一般處于選擇題的中間位置，以及填空題的前面位置.

（5）從考點(diǎn)上看：重點(diǎn)考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等相關(guān)內(nèi)容，經(jīng)常利用數(shù)量積的形式作為一種解題工具來(lái)參與大題的破解.

三、平面向量的命題類型

1.平面向量的基本概念問(wèn)題

例1（2017年全國(guó)Ⅱ卷文4）設(shè)非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|，則（ ）.

A.a⊥b B.|a|=|b|C.a∥b D.|a|＞|b|

分析：結(jié)合題目條件，通過(guò)關(guān)系式|a+b|=|a-b|兩邊平方展開(kāi)，結(jié)合數(shù)量積與兩平面向量的關(guān)系來(lái)判斷即可.

解：由|a+b|=|a-b|，可得|a+b|2=|a-b|2，則有a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b，即4a·b=0，則有a⊥b，故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本概念及其應(yīng)用等.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，結(jié)合平面向量中的相關(guān)概念、定理等加以推理與分析，進(jìn)而作出正確的判斷或得到相應(yīng)的答案.

2.平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題

例2（2018年全國(guó)Ⅰ卷文7；理6）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則（ ）.

分析：在解決平面向量的線性運(yùn)算時(shí)，可以利用三角形法則加以轉(zhuǎn)化，也可以借助特殊的公式（如中線公式等）加以應(yīng)用.

解：根據(jù)題目條件可得，故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的線性運(yùn)算、三角形的性質(zhì)，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力.涉及平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是通過(guò)平面向量的分解，并建立相應(yīng)的關(guān)系式來(lái)進(jìn)行處理與轉(zhuǎn)化.

3.平面向量的坐標(biāo)問(wèn)題

例3（2018年全國(guó)Ⅲ卷文、理13）已知向量a=（1，2），b=（2，-2），c=（1，λ），若c∥（2a+b），則λ=______.

分析：根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，并結(jié)合c∥（2a+b）建立相應(yīng)的方程，通過(guò)解方程來(lái)求解對(duì)應(yīng)參數(shù)的值即可.

解：依題可得2a+b=2（1，2）+（2，-2）=（4，2），因?yàn)閏∥（2a+b），可得，解得，故填答案

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量的位置關(guān)系.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往與平面向量的基本概念、平面向量的位置關(guān)系等知識(shí)加以綜合與應(yīng)用.

4.平面向量的數(shù)量積問(wèn)題

例4（2018年全國(guó)Ⅱ卷文、理4）已知向量a，b滿足|a|=1，a·b=-1，則a·（2a-b）=（ ）.

A.4 B.3 C.2 D.0

分析：結(jié)合題目條件，對(duì)關(guān)系式a·（2a-b）進(jìn)行展開(kāi)，結(jié)合平面向量的模運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

解：由于a·（2a-b）=2a2-a·b=2×12+1=3，故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的模與數(shù)量積等相關(guān)知識(shí).涉及平面向量的數(shù)量積的求解與運(yùn)算問(wèn)題，可以通過(guò)平面向量的數(shù)量積的定義或坐標(biāo)運(yùn)算公式來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是根據(jù)題目條件來(lái)合理選擇與應(yīng)用.

5.平面向量的交匯問(wèn)題

例5（2017年江蘇卷16）已知向量a=（cosx，sinx），

（1）若a∥b，求x的值；

（2）記f（x）=a·b，求f（x）的最大值和最小值，以及對(duì)應(yīng)的x的值.

分析：（1）利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算法則及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可；（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及兩角和的余弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)求解相應(yīng)的最值問(wèn)題.

解：（1） 因?yàn)?/p>

π］，a∥b，所以.若cosx=0，則sinx=0，與矛盾，故cosx≠0，于是

又x∈［0，π］，所以

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的共線性質(zhì)、數(shù)量積的概念及運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與輔助角公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，通過(guò)平面向量與三角函數(shù)的知識(shí)交匯來(lái)考查能力與應(yīng)用.平面向量的交匯問(wèn)題往往離不開(kāi)三角函數(shù)知識(shí)，通過(guò)結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)來(lái)綜合考查.

四、平面向量的復(fù)習(xí)策略

1.回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)

（1）準(zhǔn)確理解相應(yīng)知識(shí)的本質(zhì)，重視對(duì)相關(guān)概念、定理等的理解和掌握.如相等向量與相反向量、單位向量、共線向量（或平行向量）及其基本定理、平面向量的基本定理、平面向量的模及夾角、平面向量的數(shù)量積等.

（2）重視對(duì)相關(guān)運(yùn)算法則及相關(guān)公式的理解和掌握.如平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積的相關(guān)運(yùn)算公式及應(yīng)用等.

（3）注意解題方法和解題規(guī)律的總結(jié)與應(yīng)用.如平面向量的平行或垂直與平面向量的坐標(biāo)、數(shù)量積的關(guān)系與轉(zhuǎn)化等.

（4）重視數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的應(yīng)用.平面向量富含數(shù)學(xué)思想方法，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等經(jīng)常用來(lái)解決一些相關(guān)的平面向量問(wèn)題.

2.吃透例（習(xí)）題，注重變式

在近幾年的高考中，特別是對(duì)平面向量部分知識(shí)的考查與應(yīng)用，以基礎(chǔ)知識(shí)為主，命題主要立足于教材，適當(dāng)變形，適度整合，拓展提升，同時(shí)滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，這已經(jīng)是高考命題的一個(gè)常態(tài).因此，在平面向量的復(fù)習(xí)過(guò)程中，萬(wàn)變不離其宗，好好吃透教材的例（習(xí)）題，并在此基礎(chǔ)上加以適當(dāng)變式探究.

3.跳出題海，培養(yǎng)素養(yǎng)

在高考復(fù)習(xí)中，一定量的練習(xí)是非常有必要的，但不能盲目地陷入題海當(dāng)中，要注重“一題多解”、“一題多變”與“多題一解”等的學(xué)習(xí)實(shí)踐，養(yǎng)成變式思維，跳出題海，注重對(duì)經(jīng)典題型的變式訓(xùn)練.在此基礎(chǔ)上，不斷提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力等，提升思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

五、平面向量的命題預(yù)測(cè)

從2012年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷開(kāi)始，平面向量是高考必考內(nèi)容之一，每年都會(huì)有一道小題（選擇題或填空題）出現(xiàn)，難度相對(duì)中等或簡(jiǎn)單，主要考查平面向量的概念、線性運(yùn)算與坐標(biāo)表示，以及數(shù)量積的運(yùn)算與應(yīng)用等.縱觀近幾年的高考命題及新課標(biāo)的要求，向量考查多以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法為主，并以向量為背景考查函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何、解析幾何等的基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)揮了其工具性作用，并成為了命題發(fā)展的趨勢(shì).