激發思維自然發展的案例研究

☉浙江省臺州中學 畢里兵

高考壓軸題往往是對學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題等能力的考查，蘊含著豐富的數學核心素養的高考壓軸試題也是發展學生思維的優秀素材.

一、標題疑惑

題目：已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）略.

標準答案：由題意知f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

①若a=0，則f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一個零點.

②若a＞0，則當x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0.因此f′（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.又f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b＜0且b＜，則，故（fx）有兩個零點.

③若a＜0（步驟省略），f（x）沒有兩個零點.

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）.

這是命題組所提供的的標準解答，很多學生對當a＞0時，為什么取，使，感覺突然且無法體會其中的思想.

二、問題探究

筆者及時觀察到了學生的這一疑惑，并提出了以下問題：當a＞0時，函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有幾個零點？引導學生從這一問題展開導思研究活動.

師：大家在研究函數的零點上有哪些經驗呢？

眾生：解函數零點問題是有理可循的，解題時應注意數形結合，利用導數來對函數的圖像與性質進行研究是解決此類問題時慣常所用的.

圖1

生1：f′（x）=（x-1）（ex+2a），當a＞0時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增，在（-∞，1）上單調遞減，f（1）=-e＜0.如圖1，f（x）在（-∞，1）與（1，+∞）上各有一個零點，故a＞0時，f（x）有兩個零點.

師：大家怎樣看待這一解法？

生2：f（x）的圖像兩側并不一定都是向上無限延伸的吧？

生3：我也覺得，由零點存在定理可得，要在（-∞，1）與（1，+∞）上各找出一個數使其函數值大于零.

師：當x→±∞時，f（x）→+∞，說明生1所作圖像沒錯，直覺能夠幫助思維的形成與發展，但代替證明顯然是不行的.

眾生：為了不含ex項，取x=2，f（2）=a＞0，又f（1）=-e＜0，因此f（x）在（1，2）上有一個零點.當x＜1時，f（0）=a-2，，對小于1的自變量，使函數值大于零的值是無法取到的.

師：為什么？從式子的形式結構進行研究與判斷是否可行呢？

生4：當x=b（b是常數，b＜1）時，f（b）=（b-2）eb+a（b-1）2，右式結構為am+n（m、n為常數，m＞0，n＜0），f（b）＞0與am+n＞0等價，即.因為，因此a＞0不能推出

師：很好！x不能取常數，那我們應該怎么辦呢？

生5：取x為關于a的式子，如取x=1-a＜1，f（1-a）=-（a+1）e1-a+a3，而e1-a難以計算，故其也難以保證此式大于零.

眾生：取很多x關于a的式子，但卻都不能保證其函數值大于零.

師：我們剛才進行了具體的x的探尋，當x＜1且x為常數或x=g（a）時，f（x）＞0.我們已經知道行不通了，那么擴大尋找范圍是否可行呢？比如將尋找x=g（a）改成x＜g（a）？

生6：此處為什么沒有考慮尋找x＞g（a）呢？

師：大家從數形結合思想方面來思考呢？

生7：由f（x）的圖像可知，當g（a）＜x＜1時，f（x）＞0不成立.

眾生掌聲響起.

生8：當x＜1時，如何尋找x＜g（a），使f（x）＞0？

師：當x＜1時，看看是否可以將不等式f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2＞0化歸成x＜g（a）？

眾生：含ex的項怎么化呢？

師：將ex放縮成簡單式子可行嗎？

生9：由x＜1，知ex＜e，x-2＜0，則（x-2）ex+a（x-1）2＞（x-2）e+a（x-1）2，當（x-2）e+a（x-1）2＞0，即ax2+（e-2a）x+a-2e＞0時，解得或.因為x＜1，因此當時，（fx）＞0.所以存在b，當時，（fx）在（b，1）上有一個零點.故a＞0時，f（x）有兩個零點.

掌聲再次響起.

師：生9將ex放大為簡單的e并因此令運算更為簡便，大家可有其他放縮方法嗎？

生10：由熟知的不等式ex≥x+1得e-x≥1-x，因此當x＜1時，則等價，三次方的計算我不會了.

生11：根據所學的經驗，令1-x=t＞0，則，往后我也不會了.

師：太棒了，這一解法可是原創啊！

師：是否還有其他的放縮視角呢？

生13：將ex放大為關于a的式子，f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2右邊第二項含a，令ex＜a并使右邊放縮為積的形式.

生14：為什么不是放縮成ex＜2a或a呢？

師：這是值得考慮的.

生15：令ex＜ka，即x＜lnka（k＞0），當x＜1時，（x-2）ex+a（x-1）2＞（x-2）ka+a（x-1）2=a［x2+（k-2）x+1-2k］.

當x2+（k-2）x+1-2k＞0時，解得，所以當x＜lnka且時，f（x）＞0.

于是存在b，當b＜lnka且（k＞0）時，f（x）在（b，1）上有一個零點.故a＞0時，f（x）有兩個零點.

師：太棒了，這也是原創啊！

生16：我是這樣想的.令ex＜c，即x＜lnc（c＞0），當x＜1時，（x-2）ex+a（x-1）2＞（x-2）c+a（x-1）2=ax2+（c-2a）x+a-2c.當ax2+（c-2a）x+a-2c＞0時，解得或x＜，因此當x＜lnc且時，（fx）＞0.于是存在b，當b＜lnc且時，（fx）在（b，1）上有一個零點.故a＞0時，f（x）有兩個零點.

當c=e時，解法與生9的相同；當c=ka時，解法與生15的一致；當時，解法與命題組給出的答案一致.

眾生掌聲如潮.

師：大家一起來總結一下我們在探究中用到了哪些數學思想方法呢？

眾生與教師一起總結探究活動中所運用到的數學思想方法.

師：太好了，大家的數學直觀想象、運算、抽象等能力均得到了鍛煉.

三、教學感悟

知識的吸收與食物的吸收一樣都需要一個自然曲折的過程，教師應善于對教材進行加工與創作并使學生在情境與導思中展開探究，使學生的發現與創造變得自然并因此令數學課堂教學彌漫著自然的芬芳，并自然地呈現出數學知識的概念、定義、本質，從而促成學生思考、練習、交流與反思的自然發展.

教師應善于引導學生進行深度的思考并使其思維獲得發展，將課堂建設成為以導達思的探究活動平臺，真正擔任起導師的責任，并創設相應的問題情境，使學生在思考與回答問題中獲得教師及時的評價與修正，并因此激發學生的深層思考與探究.教師應將課堂設計成環環相扣、跌宕起伏的導思、探究、領悟與互助活動，從而使學生的思維自然流瀉，創新自然靈動.