基于“開展探究式教學，發展核心素養”的探究
——以“三角形重心教學”為例

☉北京市密云區第二中學 王德臣

一、問題的提出

數學核心素養是一個人經過數學教育培訓后所具有的數學特質.正如高中數學課程標準所述：“會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言描述現實世界.”這是一個人通過數學學習逐步形成的關鍵能力和必備品質，也是基本知識、基本技能、基本思想及基本活動經驗的綜合體現.

重心是中學數學及物理學中的重要概念.三角形的重心是研究幾何圖形重心的基礎，能夠用尺規作圖及坐標運算等方式進行研究.在用點的坐標來研究三種不同形態的三角形的重心的探究活動的教學設計中，我們要解決以下四個問題：重心的意義是什么？構成“三角形”的要素是什么？構成“三角形”的要素與重心之間有怎樣的關系？確定“三角形”重心的方法及研究過程，以及對探究其他幾何圖形的重心有哪些指導意義？

二、以“三角形重心”教學為例，實施探究式教學

教師：在平面幾何中，三角形的重心是如何定義的？

學生：三角形三條中線的交點是三角形的重心.

教師：在解析幾何中，若△ABC的三個頂點分別為那么，重心G的坐標公式是什么？

學生：三角形的重心G的坐標為

教師：這個結論是正確的嗎？三角形的重心公式的含義是什么？

設計意圖：新知識的學習必須以學生已有的認知結構為基礎，從學生已有的知識出發，提出富有挑戰性的問題，激發學生的學習興趣，使學生積極主動地參與到課堂學習之中，從而引發學生的理性思考、批判和質疑.

教師：為了回答上述問題，請同學們思考以下問題.

問題1：生活中的三角形有哪些呈現方式？如何理解數學中的三角形？

設計意圖：打破學生的原有認知，激發學生思考三角形的其他呈現形態.引導學生觀察生活現象并從中抽象出數學模型，理解三角形點系、三角形框架結構及常規三角形（面）的概念，初步認識到三角形的構成要素決定了三角形的重心（性質）.

學生：列舉生活實例，交流各種三角形的模型.

教師：三角形有三種呈現形式，第一種是由三個點構成的“點系三角形”，第二種是由三條邊構成的“邊系三角形”，第三種是教材中提到的三角形，它是由三角形的平面構成的“面系三角形”.本節課重點研究不同形態的三角形的重心的求法，并比較各個重心公式的異同點.

問題2：平面內有質量相同的三個點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）組成的點系，則三點系Ω={A，B，C}的重心為

設計意圖：數學的課堂教學不是單一地傳授知識，更重要的是讓學生體驗獲取知識的過程.在具體問題的引導下，學生通過探究設計解決問題的方案，用數學語言表達、推理與運算，用數學方法解決問題，從中培養學生數學建模、邏輯推理、數學運算的數學核心素養.

學生：分組討論解決問題的方案，并給予證明.

證明：因為點系Ω1={A，B}的重心為點系Ω={A，B，C}的重心是點系Ω2={Ω1，C}的重心G（x，y），其中所以命題成立.

教師：聽取學生的解題方案，給予學生適當的指導，最終達成共識，學生給出證明.

總結提升：利用轉化思想，先求出其中任意兩個點的重心G1，再求出G1和第三個點的重心G，從而把三個點的重心轉化成兩個點的重心，所得結論與平面三角形的重心公式一致.

問題3：若△ABC由三條粗細質地均勻的三條線段構成，其中三個頂點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則此“邊系三角形”的重心G（x，y）滿足：

設計意圖：通過層層遞進的變式探究，激發更多學生的主動參與，學生的思維越來越活躍，通過各種解題方案的提出，解決問題的脈絡也越來越清晰，學生頭腦中的認知結構不斷被激活，創造性的思想源源不斷涌出，身在課堂，樂在其中.

學生：設計解題方案，確定解題思路，把“邊系三角形”的重心轉化成三條邊的中點夠成的“點系三角形”的重心.

圖1

證明：為了便于書寫，不妨設AB=l1，BC=l2，CA=l3，因為線段l1的重心是線段AB的中點線段l的重心2為其中點線段l的重心為其中點3各個點的質量與對應線段的長度成正比 ，設 線 段MN的 重 心 為Q（x0，y0），則x0=

點Q（x0，y0）的質量與l2+l3成正比，線段PQ的重心G（x，y）為△ABC的重心，則：

教師：引導學生對問題的結論做進一步的總結，并抽象出一般結論，“邊系三角形”的重心是各個邊的中點坐標與對應邊長的加權平均值.

三、活動反思

“定性”與“定量”是數學幾何學中研究的重點與難點，本節課的教學設計思路表面上看是研究三角形的重心公式，是定量的問題，實則是從“三角形”的構成要素出發，最終發現不同形態的“三角形”的重心公式的實際含義，是“定性”的問題，從“定性”的角度看各個形態的三角形的重心是相同的.通過學生的探究活動，學生獲得了一定的數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，進一步完善了學生的認知結構，感悟到數學的理性精神，從而提升了學生的數學核心素養.

章建躍在《數學教育隨想錄》中說：“要數學地認識事物，其基本結構是：定義概念——推導性質——建立聯系——實踐應用.定義概念從而明確數學對象；探索對象的要素與要素、要素與環境之間的關系和相互作用而獲得性質；通過建立相關知識的聯系而形成知識體系；應用所得知識解決數學的內外問題，并深化知識，拓展新知.這是一個螺旋上升、逐漸深入的過程”.本節課依托上述理論，從生活中的實際問題出發，定義了不同形態的三種“三角形”，并研究它們的重心與構成要素之間的關系，以及三種形態的三角形的重心之間的關系.

探究式教學的關鍵是問題串的設計，問題串應由淺入深、環環相扣，符合學生的最近發展區，每一個問題都富有挑戰性，使得不同層次的學生憑借自己的生活經驗及知識經驗都能夠積極地參與到探究活動之中，都有“發現”及“表現”的機會，通過生活觀察、獨立思考、邏輯推理、代數運算、轉化與化歸、幾何直觀及數形結合等數學思維的基本形式，最終形成統一的共識，使學生真正理解“三角形”重心的意義，并在探究過程中提升解題能力，豐富思維品質.（本文得到首都師范大學王安教授的悉心指導，并向王教授致謝）