數形結合思想的應用研究

何愛貞

摘 要：實踐和研究“數形結合思想的應用”，培養學生敏感、主動的“數形結合”意識，發現數學問題中的“數”與“形”，利用“數形結合”解決相關問題。“數”與“形”之間密不可分，在課堂教學中適當地利用數形結合，把握好數形結合之度，就可以使問題化難為易，化繁為簡。

關鍵詞：數形結合思想;應用研究;意義

《數形結合思想的應用研究》是我校向市級申報并立項的研究課題。兩年多來課題組成員堅持采用“理論學習—課堂實踐—理論提升—課堂再實踐”的方式，使課題研究工作不斷深入，堅持加強理論學習，積極地在課堂教學中實踐，獲取第一手研究資料和研究經驗。

一、課題研究的現實意義

數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。”數形結合思想可以使抽象的數學問題直觀化、使繁難的數學問題簡捷化，使原本需要通過抽象思維解決的問題，有時借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協調發展和優化解決問題的方法。作為一線老師，在研讀教材中發現在小學數學中，特別是北師大版新教材，“數形結合”思想在很多內容中都有所滲透。“遇到問題畫畫圖”對以直觀形象思維為主的小學生來講十分必要，但在實際教學中我們發現數學知識是一條明線，得到數學教師的重視;數學思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。在教授學生知識的同時很少滲透數學思想和方法，導致不少學生（學困生）解決問題的能力不強，不會靈活運用數學思想或方法，使抽象的數學問題和復雜的數學關系直觀化、形象化、簡單化。不能把所學的數學知識應用到實際中去。因此，根據學生的實際情況，結合我校數學課堂教學實踐，確定《數形結合思想的應用研究》研究課題。

二、“數形結合”思想的應用研究實例分析

1.“數形結合”思想在“數”教學中的應用

（1）“數形結合”教學，幫助學生建立“數”的概念

“數與代數”是學習數學知識的基礎，是小學階段數學教學的重要內容。“1000以內數的認識”是學生建立“數”的概念的重要教學章節，通過這一章節的學習，學生會對“數”的概念有一個初步的認識，為進一步的數學學習打下基礎。為了實現這一章節的教學目標（即認識計數單位千，發現每兩個相鄰計數單位之間的十進關系），筆者精心安排了三個層次的教學活動。首先，讓學生數方塊計數卡，在數的過程中復習對十、百的概念認識，為后面學習千的概念及相鄰計數單位間的進位關系做好鋪墊;當學生在計數卡中找不到1000時，適時提出問題，鼓勵、引導學生將各自手中的計數卡湊在一起，嘗試用別的計數單位來代替。然后老師把10張100為單位的計數卡拼加在一起，在黑板上擺出1000。當1000個小方塊出現在黑板上時，這種直觀的形象會在學生腦海中迅速形成一個重要的結論，那就是10個100等于1000。最后，借助電腦課件，向學生演示由1到10、由10到100、由100到1000的過程，隨著電腦圖形的變化，學生通過數形結合這種方式將學到的知識進行了梳理，初步建立起“數”的概念。電腦課件的時間并不長，但形象生動，起著畫龍點睛的作用。

（2）通過“數形結合”向學生闡明算理

在教學實踐中我們發現，對于計算教學，很多課堂教學的重點都放在了計算方法上，忽視向學生進行算理的闡明，其結果是造成學生只會機械地計算而不明其理，這對于學生在數學學習上的長遠發展是十分不利的。而之所以忽視算理，一個重要的原因就是算理的抽象性，理解起來有一定的難度。基于此，運用“數形結合”的方式來進行算理的闡明，不失為一種有效的方法。利用數形結合的方式，以直觀形象的算理演示，幫助學生更好地理解。如在“小數乘法”的教學中，以求算陰影部分長方形的面積為引，通過數形結合的方式向學生闡明小數乘法的算理。圖1到圖3不難理解，用數格及簡單計算就可以解決，但對于圖4中2.7×0.8這個問題，數格顯然并不精確，需要通過計算的方式來進行，由此引出章節學習重點，其中的算理也不言自明了。

2.“數形結合”思想在“形”教學中的應用

數形結合，使抽象難懂的“形”一目了然。小學數學教材中，“形”的學習從一年級到六年級都有安排，小學低段數學注重“形”的直觀感知即可，其實到了小學中高段數學就已經把“形”與“數”緊密聯系起來了。用代數（算術）方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積等的計算，通過計算三角形內角的度數，可以知道它是什么樣的三角形等等。再如求長方形、正方形、圓等平面圖形的周長與面積，求長方體、正方體等立體圖形的表面積與體積。

如，教學“三角形邊的關系”一課時，老師選用畫在透明膠片上的16cm長的線段作為學生探究的學具。學生每人一條膠片，剪三段后（整厘米數），有的能夠圍成三角形（4、5、7;2、7、7），有的不能圍繞成三角形（4、3、9;3、5、8;4、4、8），多種情況的出現為后面總結三角形邊的關系提供了充足的數據。而后老師在處理“兩邊之和等于第三邊”時，對4、4、8這種情況給予足夠關注，學生通過對數據的分析，很容易理解“兩邊之和等于第三邊圍不成三角形”，進而得出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的規律。“形”雖然具有直觀形象的優勢，但是也有煩瑣粗略不便于表達的劣勢。要知道一些圖形的特點，或者對于幾何圖形性質的判斷，都需要通過計算才能得到正確的結論。例如，要比較兩個周長相等的正方形、長方形面積的大小，憑直觀地觀察圖形難以判斷，但通過具體計算就能夠一目了然。

3.“數形結合”思想在“解題”教學中的應用

（1）數形結合，化抽象為直觀，從容解決問題

如“雞兔同籠”一課，研究發現大部分教學以假設法為主，或假設全是雞，或假設全是兔，然后引導學生直接套用公式解決問題，結果除了一部分優生外，其余學生聽得一頭霧水。我們課題組成員蘇小英老師在執教一課中，就充分運用“數形結合”來幫助學生解決這類問題。問題“已知雞和兔一共有10只，一共有32條腿，求雞兔各有幾只？”出示后，如果用算術方法來解決這個問題，部分學生不能理解，然而借助畫圖的方法，用圓表示10只動物。假設全是雞，則每只雞有兩條腿，把腿畫出，只有20條腿，但還有32-20=12條腿沒畫。如果每只再添2條腿，這樣還得添12÷2=6只，得出兔子有6只，雞有4只。如果每只再添2條腿，這樣還得添12÷2=6只，得出兔子有6只，雞有4只。在類似的教學中，可以讓學生畫圖等“直觀圖”形式，通過借助直觀圖這種“數形結合”的方式來使得看似抽象的問題直觀化，符合小學生以具體思維為主向抽象思維過渡的思維特點，從而讓解決問題變得輕松自如，且保護學生的學習信心，激發學生的學習興趣。

（2）數形結合，把形式多樣的實際問題變成條理清晰的數學問題

小學生由于生活經歷少，在遇到一些沒有親身經歷過的實際問題時，往往沒有辦法把它們很好地轉化為數學問題。教師在教學一些比較復雜的實際問題時，就要學會根據教學內容的實際情況，適時地引導學生通過畫圖來理解題意，表示數量關系，在自己動手作圖的過程中，建立出問題的表象，從畫圖中去直觀地體驗領悟。

小學低年級的排隊問題，經常出現兩種不同的題型：一種是類似于從右邊數起，小明排在第5個，從左邊數起，小明排在第4個，這一排一共有多少人？另一種是小明的前面有5個人，小明的后面有4個人，這一排一共有多少個人？兩個問題乍一看好像差不多，但其實問題中小明被算了2次，問題二中小明沒有計算在內。很多學生解決問題時往往只知道用題目中出現的數字去計算，于是兩題的解法都變成5+4=9。這時教師就可以適時地引入數形結合思想，教學生學會畫簡單的圖形，把排隊的這個實際問題畫到自己的本子上，學生就能很直觀地感受到自己的算法問題出在哪里了。

總之，在實際教學中，“數”輔助“形”，可以將“數”形象化;“形”輔助“數”，可以使“數”直觀化。數形結合思想以它獨有的優勢在小學數學的各個階段、各個研究領域發揮著非常重要的作用。如果每位教師都能做數學教學的有心人，充分地挖掘出每冊教材中可以滲透“數形結合思想”的每個內容，再有意識地對學生加以引導，充分展示出“一圖抵百語”的優勢，把數形結合思想落到實處，不僅能為小學數學的發展開辟出更廣闊的天地，更能讓小學數學課堂充滿樂趣，使每一位學生由怕數學的“矮子”變成愛數學的“巨人”。

參考文獻：

吳正憲，武維民，范存麗.聽吳正憲教師評課[M].華東師范大學出版社，2012-09.

編輯 王彥清